函数的值域
编辑： cjj 2018-15-09
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概括：这道题是甘蛹位同学的课后练习题，主要是关于函数的值域，指导老师为充老师。值域为数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
题目：函数的值域
解：1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。
2：分离常数法
例题：y=(1-x^2)/(1+x^2)
解，y=(1-x^2)/(1+x^2)
=2/(1+x^2)-1
∵1+x^2≥1，∴0＜2/（1+x^2)≤2
∴-1＜ y≤1 即y∈（-1，1】.
3：配方法（或者说是最值法）
求出最大值还有最小值，那么值域不就出来了吗。
例题：y=x^2+2x+3 x∈【-1，2】
先配方，得y=(x+1)^2+1
∴ymin=(-1+1)^2+2=2
ymax=(2+1)^2+2=11.
4:判别式法，运用方程思想，根据二次方程有实根求值域.
当初做笔记的时候忘记抄例题了，不过这种方法不是很常用。
5：换元法：适用于有根号的函数.
例题：y=x-√（1-2x)
设√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t+1/2
=-1/2(t+1)^2+1
∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）.
6：图像法，直接画图看值域
例题：y=|x+1|+√（x-2)^2
这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。
7：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。
例题：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)
明显定义域为x≠1
所以原函数的值域为y≠1。
相关思考练习题：
题1：什么是函数的值域
点拨：1. 函数中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在数学中是函数在定义域中因变量所有值的集合 2.因为x^2>=0 所以x^2+1>=1 也就是因变量的取值范围，就是值域，其实就是Y的取值范围 3.x的取值范围叫做定义域，已知定义域为R，所以不是[1，正无穷）。
题2：逻辑函数的值域是什么
点拨：逻辑函数中任何变量（含结果）都最多只有两个取值可能：0和1 一般来说用，1代表真，0代表假。当然有人想反过来用0代表真，1代表假也是可以的。 所以逻辑函数的值域只可能是这几种情况 1、值域是0和1，即有可能真，也有可能假的逻辑函数。 2、值...
题3：求函数的值域
点拨：［方法一］ ∵y＝x＋√（1－2x）， ∴y－x＝√（1－2x）≧0，∴（y－x）^2＝1－2x，∴y^2－2yx＋x^2＝1－2x， ∴x^2＋（2－2y）x＋y^2－1＝0。 ∵x是实数，∴判别式＝（2－2y）^2－4（y^2－1）≧0， ∴1－2y＋y^2－y^2＋1≧0，∴y≦1，∴函数的值域是（－∞，1］...
题4：正弦函数的值域是什么？
点拨：值域（-1,1） (1)定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，分别记作 y=sinx，x∈R， y=cosx，x∈R， 其中R当然可以换成(-∞，+∞)． (2)值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， 所以|sinx|≤1，|cosx|≤1，即 -1≤sinx≤1...