幂函数定义
编辑： admin 2018-29-08
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概括：这道题是怀稍疑同学的课后数学练习题，主要是关于幂函数定义，指导老师为柯老师，下面是详细讲解。
题目：幂函数定义
解：形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.
一般地,形如y=xa(a为常数）的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.例如函数y=x、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1等都是幂函数,而y=2x、y=x2-x等都不是幂函数.
参考思路：
f(x) = a^x，就是幂函数，也就是指数是x为自变量的函数，一般a>0 且a不等于1
举一反三
例1： 幂函数概念[数学练习题]
思路提示：
形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.
例2： 【详细一点的幂函数的概念】[数学练习题]
思路提示：
形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数. 当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了.因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识.
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数（即p、q互质）,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞）.当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数； 排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数.
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下： 1.如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；2.如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数. 当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下： 1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数. 2.在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数. 而只有a为正数,0才进入函数的值域. 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的, 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到： （1）所有的图形都通过（1,1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0,0）和（1,1） （2）当a大于0时,幂函数为单调递增为增函数 而a小于0时,幂函数为单调递减为减函数. （3）当a大于1时,幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸（横抛）.当a小于0时,图像为双曲线. （4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大. （5）显然幂函数无界限. （6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}.
幂函数的图象： ①当a≤-1且a为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数 ②当a≤-1且a为偶数时,函数在第二象限为减函数,第一象限为增函数 ③当a=0时,函数图象平行于x轴且y=1 ④当0
例3： 幂函数概念观察下列两组函数,说出它们的共同点与相同点：(1)、函数y=3^x,y=2^x,y=0.5^x,y=0.3^x(2)、函数y=x^3,y=x^2,y=x^1/2,y=x^0.3上面打错了，应该是共同点与不同点[数学练习题]
思路提示：
1、这四个函数都是指数函数,前两个是在整个实数上单调增的,后两个是单调减的.
2.这四个函数都是幂函数
幂函数比较复杂点,单调性与指数有关.
例4： y=1是幂函数,为什么,幂函数是怎样定义的可是y=1与y=x^0定义域不同[数学练习题]
思路提示：
因为y=1可以写成y=x^0
形如y=x^k（k 为常数）的函数叫幂函数
(猜的,我初二)
例5： 幂函数的定义是什么,它的图像是什么[数学练习题]
思路提示：
形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.
幂函数的图象：
①当a＞0时,函数是增函数
②当a=0时,函数图像平行于x轴且y=1
③当a＜0时,函数是减函数
详见参考资料.
相关思考练习题：
题1：幂函数的和函数的定义，什么是和函数
点拨：（2）和函数就是函数项无穷级数的和，例如： 1+x+x^2+x^3+……+x^n+……=1/(1-x) 1/(1-x)就是函数项无穷级数 1+x+x^2+x^3+……+x^n+…… 的和函数。 （1）幂函数一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为...
题2：幂函数的定义域
点拨：形如y=x^a(a为常数）的函数，称为幂函数。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接...
题3：什么是幂函数
点拨：幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已...
题4：幂函数有什么定义吗，比如指数函数的底数不能是负数。
点拨：定义；一般地，形如y=x^a（a∈R）的函数称为幂函数，其中a属于常数。 性质；1.所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，，即在第一象限内任意一幂函数都有图像，并且图像恒过定点（1,1）
题5：关于幂函数的所有定义
点拨：形如y=x^a(a为常数）的函数，对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是...