圆周率等于4_禄剑怖同学数学作业《圆周率等于4》解题方法_数学_禄剑怖
编辑： admin 2017-25-06
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圆周率等于4导读：
这道数学作业题来自禄剑怖同学的作业解题方法分享《圆周率等于4》，指导老师是刘老师，涉及到的数学知识点概括为：这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？，同学们可以通过学习圆周率等于4：这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？的相关数学知识来提升自己的数学作业解题能力，只有掌握了这些数学知识能力，才能让自己的数学解题能力提升，也才会在数学考试中取得良好的成绩，下面是禄剑怖数学作业的详细总结概括分享（本道题以问答模式展开）。
题目：这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？
圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
以上算法是错误的,真正与圆周无限近似的是无限内凹后的每一个小直角三角形最长边,也就是直角对着的那条边的总和,而不是那两个直角边的总和.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
正方形最后变成一个边缘为锯齿的“圆”,但这个“圆”与真正的圆是外切的,它的周长永远大于圆的周长,所以圆周率应该小于4.正确的近似方法应该是圆的边穿过锯齿“圆”的锯齿,但这样是算不出圆周率的.有人把边长为1的正方形换成边长为0.5的六芒星,用同样的近似方法算出圆周率为6,那你要相信哪一个呢?互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 圆周率真的等于4么[数学科目]
感觉已经是第八次看到有人对这个问题不解了……以下写在括号里的内容如果看不懂可以跳过.两个问题是类似的,只列“根号2=2”的示意图：n充分大的时候,锯齿形和斜边看起来将无限接近,但是长度一个是2,一个是根号2,在某些人看来,这是一个悖论.对此,给出如下的解释：首先,在初等微积分中没有关于曲线极限的一般定义.（只定义了数列极限和函数极限,而一般的极限理论是在拓扑空间上的.）圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
其次,即使造一个定义,能够描述这种逼近（应当指出,这类定义可能不惟一,可能在定义1之下曲线C_n收敛于曲线C,而在定义2之下曲线C_n没有极限.每种不同的定义方法都可以看作是在不同的拓扑空间上考虑）.也没有道理认为曲线长度的极限恒等于曲线极限的长度.（除非曲线长度在那个拓扑空间上是一个连续泛函）.事实上,这个问题的数学意义在于,怎样“良好地”定义曲线的长度.我们首先承认线段的长度是平凡的,对于有限的折线,依据各段相加.对于弧线,我们要用折线来逼近,但不是胡乱逼近,通俗地说就是折线的小段的“方向”在极限情况下要与曲线一致,不能走回头路.在一维的情形下,通常定义曲线的长度为内接折线的长度的上确界.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
这里内接就可以保证其方向一致,而上确界则代替了复杂的极限概念.（至于走回头路的情况,一般的书籍的折线的定义里已经直接将它排除掉了）这是一个“良好”的定义.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
按照这个定义,所谓的“pi=4”和“根号2=2”的图形直接被排除在外.因为那些锯齿形的折线根本不是考虑的曲线的内接折线,自然不必要求长度收敛到曲线长度.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
（不过在二维的情形下,即使内接,仍不能保证方向的一致,参见Schwarz的例子,即使是简单的直圆柱,它的内接折面的面积的上确界也是无穷大.因此曲面的面积的严格定义比曲线的长度要更复杂一些,具体可参见张筑生《数学分析新讲》)另外,我不认为这个问题跟分形几何有实质关系.这个和lim[n*(1/n)]=lim(1/n)+lim(1/n)+...+lim(1/n)=0+0+0+...0=0犯了同样的错误补充一下关于为什么觉得这个问题跟分形几何无关.在标准分析的实数结构中,与Koch雪花不同,依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线没有合理的意义.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
当然有人会说,我不需要这种依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线作为“实际上的曲线”存在,我只需要讨论折线列就可以,把符合一定条件的折线列定义成一种“广义曲线”.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
但你还需要把维数的定义也推广到这种“广义曲线”上去,就我看,即使你能完成这种定义,在这两个问题中,最合理的维数应该是1,而不是大于1的什么数.（在“根号2=2”和“pi=4”的两个例子中,折线列的总长度都是有限值,作为一种朴素的想法,维度大于1的东西不该有有限的长度,何况“根号2=2”例子中相似维数直观上就是1）可以这样粗粗解释.把这两幅图分别置于直角坐标系,以直角顶点为原点.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
折线这幅图,”折斜边“在区间（0,1）根本无法做到处处连续.（就是可以找到这样的点,左极限和右极限不相等,更通俗直观的解释就是不光滑.）右边这幅图,”斜边“除了两个端点分别是右连续和左连续,在（0,1）区间内处处连续.（就是所有的点左极限和右极限相等,俗称光滑.）左图实际上应该把”折斜边“的一段段小斜边连起来（就是小斜边之和的极限）就是”根号2“.//那个所谓的PI == 4,也是这个道理.正多边形的周长越来逼近”处处连续“,那个什么”折纸正方形“根本不能做到这一点.有限情形的折线边是连续的.圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
无限情形的折线边不是连续不连续的问题,是根本就不存在的问题.题2： 【计算|4-圆周率|+|3-圆周率|等于多少】[数学科目]
因为4-π＞03-π＜0所以|4-π|+|3-π|=4-π+π-3=1圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
有什么不明白可以继续问,随时在线等.题3： 【现在大家都知道圆周率约等于3.14,但是圆周率它是怎么算出来的?】[数学科目]
计算圆周率圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算.为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血.十九世纪前,圆周率的计算进展相当缓慢,十九世纪后,计算圆周率的世界纪录频频创新.整个十九世纪,可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪.进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞猛进.借助于超级计算机,人们已经得到了圆周率的2061亿位精度.历史上最马拉松式的计算,其一是德国的Ludolph Van Ceulen,他几乎耗尽了一生的时间,计算到圆的内接正262边形,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks,他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位.可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了.把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大.现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了.如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值,来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数.自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数,1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了.现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力,还有,就是为了兴趣. 圆周率的计算方法圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度.这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好.随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式.下面挑选一些经典的常用公式加以介绍.除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了. 1、 Machin公式 http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247046.gif http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247047.gif圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现.他利用这个公式计算到了100位的圆周率.Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度.因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现. Machin.c 源程序圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
还有很多类似于Machin公式的反正切公式.在所有这些公式中,Machin公式似乎是最快的了.虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin公式就力不从心了.下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到圆周率的过亿位的精度.这些算法用程序实现起来比较复杂.因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法.FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n)). 2、 Ramanujan公式 http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247048.gif圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式,这是其中之一.这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度.1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位. 1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为： http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247049.gif圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
这个公式被称为Chudnovsky公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度.1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位.Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是： http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247050.gif 3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式： 初值：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247051.gif 重复计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247052.gif 最后计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247053.gif圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了.1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录. 4、Borwein四次迭代式： 初值：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247054.gif 重复计算： http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247055.gif http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247056.gif 最后计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247057.gif 这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表,它四次收敛于圆周率. 5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法 http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247058.gif圆周率等于4：逆火学习站的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表.它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第n位,而不用计算前面的n-1位.这为圆周率的分布式计算提供了可行性.1997年,Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：圆周率等于4：逆火学习站(img1.72589.com)的禄剑怖同学的作业题：《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》解题思路
圆周率等于4小结：
通过以上关于禄剑怖同学对圆周率等于4：这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？的概括总结详细分享，相信同学们已经对圆周率等于4的相关数学作业知识一定有所收获吧。建议同学们要学会归纳总结，仔细揣摩禄剑怖同学分享的解答《这样推算，圆周率竟然等于4!哪里出错了呢？》这道作业题的重点部分，他山之石，可以攻玉，考才获胜。