【欧拉常数】欧拉常数有什么用_数学_myztxclz
编辑： admin 2017-15-06
-
4
欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 【matlab欧拉常数怎么表示表达式中有欧拉常数k,请问在MATLAB中该怎么表示?】
就当做一个变量定义一下就可以：
k = 1; % 改成实际数值
...
题2： 欧拉常数如何证明[数学科目]
这是我 在 网上搜的不知对不对啊 ：
学过高等数学的人都知道,调和级数
S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)
将ln(1+1/n)展开,取其前两项,由于舍弃的项之和大于0,故
ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0
即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0,所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
题3： 【什么是欧拉常数拜托给个短小精练的答案】[数学科目]
调和级数
∞
∑(1/n)
n=1
是发散的,而极限
n
lim [∑ (1/k)-ln n]
n→∞ k=1
却是收敛的,将该极限值称为欧拉（EULER）常数γ,
近似计算γ=0.5772156.
（人家问的是欧拉常数,不是欧拉数啊）
题4： 【有关于欧拉常数!怎样证明1+1/2+1/3+1/4+……+1/n-ln(n)当n趋于无限大时有极限?数列的单调增加性已经能够证明了,现在就需要证明这个数列有上界.感谢asconanlhy的回答，这种证明问题的方法叫归纳】[数学科目]
呵呵楼上的说的用洛比打法则到底能不能做,我不知道,我觉得可能有点麻烦的,毕竟洛必达法则的条件要求导函数之比极限存在的.我没去想那个.
楼主我不知道你怎么证明的这个数列单调增加!我记得我证明的时候是先证明单调递减,再证明有下界0!
这个也可以用积分中值定理证,或者构造一个级数来证明,我个人觉得构造级数最简单.
大概是这样v(n)=a(n)-a(n-1)=1/n+ln(1-1/n)=
1/n+[-1/n-1/2n^2+o(1/n^2)]=-1/2n^2+o(1/n^2)
级数v收敛所以它的部分和a收敛.
题5： 欧拉常数近似值前7位是多少[数学科目]
0.5772157