【一致收敛】数学分析中一致收敛与收敛有什么区别？如题，简单论述..._数学_小威视角0024
编辑： admin 2017-15-06
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所谓一致的意思就是大家具有同样的性质或者同样的速度.
比如讲收敛.fn(x)在x点收敛是对任意的e>0,存在N=N(e,x),
当n>N时,有|fn(x)-f(x)| 对给定的e,N越大的可以认为收敛的越慢,N越小的可以认为收敛的越快. 不同的x对应的N是不同的（即使是同样的e),也就是不同的点收敛的快慢 是不一样的.再来看一致收敛. 对任给的e>0,存在N=N(e),当n>N时,对任意的x,有 |fn(x)-f(x)| N就可以确定了.也就是说,不同的地方收敛的速度基本上 是同样的,都可以用同一个N来控制.对比上面的逐点收敛而不一致收敛, 上面的逐点收敛一般是找不到同样的N的,你只能保证每一点都是收敛的, 但收敛的快慢是不一样的.如果举一个具体的例子,比如fn(x)=x^n,0 越靠近1的地方,收敛于0的速度越慢,在整个(0,1)上是否能具有大致相同的 收敛速度呢（也就是给定e之后,能否找一个公共的N来控制呢）.可以知道, 这是办不到的.假设有一个这样的N,使得|x^n| 都成立,固定每一个n,令x趋于1得到1 说fn(x)在A中一致收敛于f(x)是指： lim{n->∞}sup{x属于A}|fn(x)-f(x)|=0 (sup表示上确界或者初略地理解为最大值} 但收敛则是 lim{n->∞}|fn(x)-f(x)|=0 fn(x)在x∈（0,1）上收敛于f（x）=0,在x=0收敛于f(x)=1 又fn（x）在[0,1)上连续, 根据一致收敛的性质,若fn（x)在[0,1)上一致收敛于f（x）,则f（x）必在[0,1)上连续 但是根据上面分析,f（x）在x=0这点不连续 故fn（x）在[0,1)上不是一致收敛的 从定义上看： fn一致收敛到f：对于任意的e0,存在一个N0,使对于任意的x在定义域和nN,|f(x)-fn(x)| fn逐点收敛到f：对于任意的e0,对于任意的x在定义域,存在一个N_x0,使任意的和nN_x,|f(x)-fn(x)| 这里注意到,我在逐点收敛的N上标了一个下标x,表示N和x是有关系的.而一致收敛的N是先取的,是对所有x都适用的.这个就是最大的区别： 逐点收敛指在每个点,函数值fn(x)都收敛到f(x),但是不同点收敛快慢可能不一样. 一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x).追问： 收敛一定能一致收敛吗回答： 不一定啊,但反之一定!追问： 我看过一个证明题 证级数的连续 答案先证其收敛 然后直接得出一致收敛 再直接得出连续…… 我十分的不理解……回答： 为什么要引进一致连续的概念呢?容易证明有限个“连续函数”的和仍然是“连续函数”.但是,对于函数项级数,每一项函数都是连续的,在每一点x处级数收敛的,函数项级数收敛于和函数S(x),我们自然要问S(x)是否是连续函数?很遗憾,可举出反例,不一定.有如下定理：在闭区间上,函数项级数中的每一项连续,且一致收敛于S(x),则S(x)在该闭区间上也连续.上述讨论注意“连续函数”,改为“可导函数”,“可积函数”也成立.可见一致收敛的概念是多么强有力!需要补充的是,你说你看到的是证明了收敛就得到一致收敛,你可以查一下分析书里,有好几个一致收敛的判定定理,证明中一定用了其中一个. fn（x）一致收敛于f（x） 对?δ>0,?N(δ),当n>N时,|fn（x）-f（x）|<δ g（x）在R上连续,必在[M,N],上连续,其中M和N分别是f（x）在[a,b]上的最小值和最大值 闭区间上连续函数一定一致连续 所以对?ε>0,?δ,当|x1-x2|<δ时,|g（x1）-g（x2）|<ε 因此对于?ε>0,只要n>N,就有,|fn（x）-f（x）|<δ从而有 |g（fn（x））-g（f（x））|<ε 所以g（fn（x））在[a,b]上一致收敛于g（f（x）） 取一个区间 [a,b] 在这个区间内任意取两点 x1,x2,且x1 则根据拉格朗日中值定理有 f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2) 【x1<ξ 因为f'(x)有界,故当x1-x2趋于零时,f(x1)-f(x2)也趋于零, 所以f(x)在闭区间[a,b]上为连续函数. 根据书上定理,闭区间上的连续函数一定是一至连续的. 所以f(x)在闭区间[a,b]上一致连续. 又由于f'(x)有界在[a,+∞],所以无论区间 [a,b]中的b为多大,我们总可以有 f(x)在闭区间[a,b]上为连续函数,所以我们就证明了f(x)在闭区间[a,+∞）上一致连续. 被积函数关于β是连续的,如果积分一致收敛的话ψ(β)应该是连续函数,但是这里ψ(β)在0处不连续其他同学给出的参考思路：
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