【最多有三个】为什么一元三次方程最多有3个实根？_数学_xafygpkf
编辑： admin 2017-15-06
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三次函数与x轴最多只有三个交点,则三次方程最多只有三个实数根.
其他同学给出的参考思路：
aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 怎样求一元三次方程的根[数学科目]
标准型
形如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型.
编辑本段公式解法
1．卡尔丹公式法
（卡尔达诺公式法） 特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3 【卡尔丹公式】 X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)； X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2； 标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω,其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2).标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0 令X=Y—b/(3a)代入上式,可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0.【卡尔丹判别法】 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^30时,盛金公式②：X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)； X(2,3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)； 其中Y(1,2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2,i^2=－1.当Δ=B^2－4AC=0时,盛金公式③：X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2,其中K=B/A,(A≠0).当Δ=B^2－4AC0,－1
题2： 【一元三次方程的根与系数的关系?问：“a,b,c是方程x3+px+q=0的三个根,由根与系数的关系知a+b+c=0”是为什么?[引号中文字原于书上]】[数学科目]
你假设这个方程的根是a,b,c(三次方程有三个根),那么这个方程可以写为（x-a)(x-b)(x-c)=0,然后把这个方程拆开：x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=0,对比原来的方程,可以看出a+b+c=0(原方程的二次项前面的系数为0!)
一般系数的关系都可以用这个方法的：）
题3： 一元三次方程的根和各项的系数的关系[数学科目]
一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0,设其根分别是 x1、x2、x3；则 a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0；
展开后即可看出根与系数的关系（就是韦达定理）：
x1+x2+x3=-b/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a,x1*x2*x3=-d/a；
题4： 一元三次方程的三根之间有什么关系[数学科目]
韦达定理介绍根与系数的关系：通式为
ax^3+bx^2+cx+d=0,三根为x1,x2,x3
x1+x2+x3=-b/a
x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a
x1*x2*x3=-d/a
题5： 【一元三次方程有且只有一实根的性质如果一元三次方程有且只有一实根,那么有什么特别呢?拜托啦!】[数学科目]
该方程一定可以分解为k(x+a)(x^2+bx+c) = 0;
判别式b^2-4c