【锐角三角形ABCBC】【设锐角三角形ABC的边BC上，有一点D，使得AD把△ABC分..._数学_ijxbbd9
编辑： admin 2017-15-06
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图片我发上来了
分类讨论,
首先否定AD=BD=DC,因为这时,△ABC为直角三角形
一、当AD=BD=AC时,∠ADC=∠C,∠B=∠BAD,显然,∠C=∠4=2∠B,
令各角大于0°,小于90°,解得30°<∠B<45°,
易得∠BAC=180°-3∠B,
所以当∠B<45°时,恒有∠B为最小角
此时30°<∠B<45°
二、AD=BD,AC=CD
此时,∠1=∠B,∠2=∠4=2∠B,
所以,∠BAC=3∠B,∠C=180°-4∠B,
令各角大于0°,小于90°,解得22.5°<∠B<30°,
此时∠B仍是最小角（证明略）
三、AB=AD=CD,结论同（一）
四、AB=AD=AC,这是不可能的,证明略
五、AB=AD,AC=CD,
此时,∠3=∠B,∠2=∠4=90°-1/2∠C,
由于∠3+∠4=180°,所以∠B=90°+1/2∠C,
∠C>0°,所以∠B>90°,不符题意.
六、AB=BD,AD=CD,结论同（二）
七、AB=BD,AD=AC,
∠C=∠4,∠1=∠3,结论同（五）
八、AB=BD,AC=CD
∠1=∠3,∠2=∠4,因为∠3+∠4=180°,所以∠1+∠2=180°,不符题意
综上所述,最小角的取值范围是22.5°到45°
其他同学给出的参考思路：
0倒45度
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 【锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC的（）A.垂心B.内心C.外心D.重心】[数学科目]
作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，
∴∠BAD+∠E=90°，
∵∠C+∠BAD=90°，
∴∠C=∠E，
∴E在△ABC的外接圆上，
∵∠ABE=90°，
∴AE是直径，
∴AD一定过△ABC的外心．
故选C．
题2： 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．[数学科目]
设正方形的边长为xmm，
则AI=AD-x=80-x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC
即x120=80?x80，
解得x=48mm，
所以，这个正方形零件的边长是48mm．
题3： 【如图,AD,A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC,B′C′边上的高……如图,AD,A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC,B′C′边上的高,且AB=A′B′,A′D′=AD,若使△ABC】[数学科目]
若∠C=∠C′可证明：△ABC≌△A′B′C′
证明：
∵AB=A′B′,A′D′=AD
∴RT⊿ABD≌RT⊿A′B′D′(HL)
∴∠B=∠B′
∵∠C=∠C′AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)
题4： 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1[数学科目]
（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AMAD=HGBC
（2） 由（1）AMAD=HGBC得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=30cm，
∴AM=（30-x）cm，
∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得 30-x30=2x40，
解得，x=12，
故HG=2x=24
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
题5： 如图,AD,A'D'分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中BC,B'C'边上的高AD,A'D'分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中BC,B'C'边上的高,且AC=A'C',AB=A'B',AD=A'D'[数学科目]
因为 AC=A'C' AD=A'D ,AD,A'D'分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中BC,B'C'边上的高
∠ADC=∠ A'D' C'=90° 所以 BD＝B'D' 同理DC =D' C′ 所以 BC=BD+DC=B'D'+D' C′ = B'C' 在△ABC 与△A′B′C′中 AC=A'C' （已知） AB=A'B（已知） BC=B'C' （已证）
所以 △ABC≌△A′B′C′ （SSS）