【待定系数法】【什么叫待定系数法举简单点的例子】_数学_烂桃花UK02FZ87
编辑： admin 2017-15-06
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待定系数法
有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式xx－2xy＋yy＋2x－2y－3.
分析 待定系数法是初中数学的一个重要方法,我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项xx－2xy＋yy,可以分解成（x－y）（x－y）.因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式,其中m、n为待定系数,只要能求出m和n的值,多项式便能分解.
解 设xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝xx－2xy＋yy＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋mn
两个多项式恒等,它们的对应项的系数就对应相等.
∴ 解之,得 m＝－1
n＝3
∴xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)
通过本例可知,用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.
该题最简捷的方法是分组,利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式.
解 原式＝(xx－2xy＋yy)＋(2x－2y)－3
＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3
＝(x－y－1)(x－y＋3)
也有详细说明
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 各位大哥,大姐给我给我个用待定系数法来分解的题目例题.谢谢了.[数学科目]
待定系数法
undetermined coefficients
一种求未知数的方法.一般用法是,设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到待求的值.例如,将已知多项式分解因式,可以设某些因式的系数为未知数,利用恒等的条件,求出这些未知数.求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法.从更广泛的意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数,使问题得到解决的方法.求函数的表达式,把一个有理分式分解成几个简单分式的和,求微分方程的级数形式的解等,都可用这种方法.
【又】一种常用的数学方法.对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数.广泛应用于多项式的因式分解,求函数的解析式和曲线的方程等.
[用待定系数法因式分解]
待定系数法是初中数学的一个重要方法.用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.在初中竞赛中经常出现.
待定系数法
有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式xx－2xy＋yy＋2x－2y－3.
分析 待定系数法是初中数学的一个重要方法,我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项xx－2xy＋yy,可以分解成（x－y）（x－y） .因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式,其中m、n为待定系数,只要能求出m和n的值,多项式便能分解.
解 设xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝xx－2xy＋yy＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋mn
两个多项式恒等,它们的对应项的系数就对应相等.
∴ 解之,得 m＝－1
n＝3
∴xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)
通过本例可知,用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.
该题最简捷的方法是分组,利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式.
解 原式＝(xx－2xy＋yy) ＋(2x－2y)－3
＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3
＝(x－y－1)(x－y＋3)
题2： 什么是待定系数法同上(详细)[数学科目]
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法.
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程；.（3）解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
例如：：“已知x^2-5=（2一A）·x^2＋Bx＋C(x^2意思为x的平方),求A,B,C的值．”解答此题,并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值．这里的A,B,C是有待于确定的系数,这种解决问题的方法就是待定系数法．
步骤：一、确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中,解析式就是:
（2一A）·x^2＋Bx＋C 二、根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程.在这一题中,恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.A=1 B=0 C=-5 答案就出来了.
题3： 待定系数法是什么[数学科目]
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法.
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程；.（3）解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
例如：：“已知x^2-5=（2一A）·x^2＋Bx＋C(x^2意思为x的平方),求A,B,C的值．”解答此题,并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值．这里的A,B,C是有待于确定的系数,这种解决问题的方法就是待定系数法．
步骤：一、确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中,解析式就是:
（2一A）·x^2＋Bx＋C 二、根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程.在这一题中,恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.A=1 B=0 C=-5 答案就出来了.
题4： 【待定系数法是什么来的】[数学科目]
待定系数法 undetermined coefficients
一种求未知数的方法.一般用法是,设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到待求的值.例如,将已知多项式分解因式,可以设某些因式的系数为未知数,利用恒等的条件,求出这些未知数.求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法.从更广泛的意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数,使问题得到解决的方法.求函数的表达式,把一个有理分式分解成几个简单分式的和,求微分方程的级数形式的解等,都可用这种方法.
【又】一种常用的数学方法.对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数.广泛应用于多项式的因式分解,求函数的解析式和曲线的方程等.
[用待定系数法因式分解]
待定系数法是初中数学的一个重要方法.用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.在初中竞赛中经常出现.
例、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法.
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程；.（3）解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
例如：：“已知x^2-5=（2一A）·x^2＋Bx＋C(x^2意思为x的平方),求A,B,C的值．”解答此题,并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值．这里的A,B,C是有待于确定的系数,这种解决问题的方法就是待定系数法．
步骤：一、确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中,解析式就是:
（2一A）·x^2＋Bx＋C 二、根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程.在这一题中,恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.A=1 B=0 C=-5 答案就出来了.
题5： 【初中待定系数法的应用加简单的列题速度】
待定系数法
甲内容提要
1.\x05多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.
符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式. 例如：
（x+3）2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),
x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).
都是恒等式.
根据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值. 例如：
已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).
求：①a+b+c ； ②a－b+c.
①以x=1,代入等式的左右两边,得a+b+c＝－4.
②以x=－1,代入等式的左右两边,得a－b+c＝0.
2.\x05恒等式的性质：如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等.
即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an= b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn
那么 a0=b0 ,a1=b1, …… ,an－1=bn－1 ,an=bn.
上例中又∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.
∴a=2, b=－2, c=－4.
∴a+b+c＝－4,a－b+c＝0.
3.\x05待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式,然后根据恒等式定义和性质,确定待定系数的值.
乙例题
例1.\x05已知：
求：A,B,C的值.
去分母,得
x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).
根据恒等式定义（选择x的适当值,可直接求出A,B,C的值）,
当x=0时, 2＝－6A. ∴A＝－ .
当x=3时, 8＝15B. ∴B＝ .
当x=－2时, 8＝10C. ∴C＝ .
本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于x的二次三项式,然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.（见下例）.
例2.\x05把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.
用待定系数法：
设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d
把右边展开,合并同类项（把同类项对齐）,
得 x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a
+bx2－2bx+b
+cx－c
+d
用恒等式的性质,比较同类项系数,
得 解这个方程组,得
∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.
本题也可用换元法：
设x－1=y, 那么x=y+1.
把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式,最后再把y换成x －1.
例3.\x05已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.
求：a和b的值.
设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2 （设待定的系数,要尽可能少.）
右边展开,合并同类项,得
4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.
比较左右两边同类项系数,得
方程组 ； 或 .
解得 .
例4.\x05推导一元三次方程根与系数的关系.
设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.
原方程化为x3+ .
∵x1, x2, x3是方程的三个根.
∴x3+ (x－x1) (x－x2) (x－x3).
把右边展开,合并同类项,得
x3+ =x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.
比较左右同类项的系数,得
一元三次方程根与系数的关系是：
x1+x2+x3=－ , x1x2+x1x3+x2x3＝ , x1x2x3＝－ .
例5.\x05已知：x3+px+q 能被（x－a）2 整除.
求证：4p3+27q2=0.
证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.
x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.
由①得b=2a, 代入②和③得
∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2
=4×（－27a6）+27×（4a6）=0. （证毕）.
例6.\x05已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式,也是q (x)=3x4+4x2+28x+5
的因式.
求：f (1)的值.
∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.
为了消去四次项,设g (x)－q (x)＝kf (x),(k为正整数).
即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)
14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)
∴k=14,b=－2, c=5.
即f (x)=x2－2x+5.
∴f (1)=4 .
例7.\x05用待定系数法,求（x+y）5 的展开式
∵展开式是五次齐次对称式,
∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定系数.)
当 x=1,y=0时, 得a=1；
当 x=1,y=1时, 得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16
当 x=－1,y=2时, 得31a－14b+4c=1.
得方程组
解方程组,得
∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.