【a与b相似的充要条件】矩阵A与B相似的充分必要条件是什么？_数学_入戏1tV7i04
编辑： admin 2017-15-06
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1、相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.
2、从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：
P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.
3、进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.
4、再进一步,如果A、B均为实对称矩阵,则它们必可相似对角化,可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）.
5、以上为线性代数涉及到的知识,而如果你也学过矩阵论,那么A、B相似的等价条件还有：
设：A、B均为n阶方阵,则以下命题等价：
(1)A~B;
(2)λE-A≌λE-B
(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子
(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子
(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组
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题1： 【矩阵A与B相似的充分必要条件是什么?AB是任意矩阵,没有特别指明说AB是实对称矩阵或者可对角化,若需要可以将以上将其作为充分必要条件的一部分.】[数学科目]
1、相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.
2、从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：
P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.
3、进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.
4、再进一步,如果A、B均为实对称矩阵,则它们必可相似对角化,可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）.
5、以上为线性代数涉及到的知识,而如果你也学过矩阵论,那么A、B相似的等价条件还有：
设：A、B均为n阶方阵,则以下命题等价：
(1)A~B;
(2)λE-A≌λE-B
(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子
(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子
(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组
题2： 证明矩阵A和B对称的充分必要条件是AB=BA[数学科目]
题目不完全,首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件.
1、若A、B是对称矩阵,则根据对称矩阵的定义,（AB）T=AB,（T是上标,以下相同）,
而根据转置矩阵的重要性质,（AB）T=（B）T（A）T,而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,
所以AB=BA,即A和B可交换.
2、若AB=BA,即A和B是可交换矩阵,根据转置矩阵的重要性质,
（AB）T=（B）T（A）T,
而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA,
故（AB）T=AB,
故AB是对称矩阵.
题3： 设A为列满秩矩阵,B、C为n*t矩阵,证明AB=BC的充分必要条件是B=C[数学科目]
是 AB=AC 吧
必要性:因为 AB=AC
所以 A(B-C) = 0
所以 B-C 的列向量都是齐次线性方程组Ax=0 的解
而A列满秩,Ax=0 只有零解
所以 B-C=0
所以B=C
充分性显然.
题4： 矩阵A与B等价的充要条件是秩相等[数学科目]
对的.
A等价于其等价标准形
Er 0
0 0
A,B等价则它们的等价标准形相同
故秩相等
反之亦然
题5： 若A,B是实对称矩阵,则A与B有相同的特征值是A与B相似的充分必要条件.为什么?
相似矩阵有相同的特征值,这是定理
反之,因为A,B是实对称矩阵,所以A可对角化,即A,B相似于由特征值构成的同一个对角矩阵,所以A,B相似.