【已知圆的半径为r】已知一个圆的半径为R，求这个圆的内接正n边形的周长和..._数学_仰望6741
编辑： admin 2017-15-06
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正六边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点,组成的三角形为正三角形
则边长为圆半径2Rsin30°.
则周长为6R,
面积为6个正三角形面积和=√3R^2/4*6=3√3R^2/2
正十二边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点,组成的三角形为等腰三角形
底角为75°.顶角为30°
则边长为圆半径2Rsin15°.
则周长为24Rsin15°,
面积为12个等腰三角形面积和=R^2sin15°cos15°*12=3R^2
正二十四边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点,组成的三角形为等腰三角形
底角为82.5°.顶角为15°
则边长为圆半径2Rsin7.5°.
则周长为48Rsin15°,
面积为24个等腰三角形面积和=R^2sin7.5°cos7.5°*24=12R^2sin15°
规律：对于正n边形.
周长为：2nRsin（180°/n）
面积：1/2nR^2sin（360°/n）
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 已知一个圆的半径为R求：这个圆的内接正n边形的周长和面积有详细的过程,谢谢,这道题在初三的三角函数那一章[数学科目]
圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径,长度为R.这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.这样,每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,
设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线,在分成的一个直角三角形里用三角函数：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
设边心距为y,y=Rcos(π/n)
每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多边形的面积
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2
题2： 已知一个圆的半径R,求这个圆的内接正n边形的周长和面积填表：正六边形十二二十四规律内接n正边形内接正n边形的周长内接正n边形的面积[数学科目]
正六边形 十二 二十四 规律
周长 6R 24Rsin15度 48Rsin度 2nRsin
面积 3根3R方 3R方2 12R方sin15度 2分之1nR方2sin
题3： 【已知一个圆的半径为R,求这个圆的内接正n边形的周长和面积】[数学科目]
圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径,长度为R.这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.这样,每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,
设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线,在分成的一个直角三角形里用三角函数：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
设边心距为y,y=Rcos(π/n)
每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多边形的面积
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2
题4： 已知一个圆的半径为R,求这个圆的内接正n变形的周长和面积[数学科目]
设正n边形,圆的半径r,周长为L面积为S
边对的圆心角=n/360
边长=2rsin(n/720)
周长L=2nr*sin(n/720)
面积S=(1/2)*r^2*n*sin(n/360)
题5： 一个圆的半径为R,求圆内接正多边行的周长和面积?[数学科目]
设正n边形,n大于等于2
一条边和圆心组成等边三角形,顶角是360/n度,做这个三角形底边的中线（垂线）,那么直角三角形的一个锐角是180/n度,两直角边分别为：
R×sin（180/n）,R×cos（180/n）,
这样面积、边长、周长都可求了