【设ab是n阶对称阵】设A，B为N阶对称阵证明AB为对称阵的充要条件为AB=BA如..._数学_avkkcinl
编辑： admin 2017-15-06
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证明: 必要性 已知AB为对称阵
转置 (AB)'=B'A'
又A'=A B'=B (AB)'=AB
所以有 AB=BA
充分性 已知AB=BA
(AB)'=(BA)'=A'B'
又A'=A B'=B
所以(AB)'=AB
AB为对称阵
命题得证
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 设A,B为N阶对称阵证明AB为对称阵的充要条件为AB=BA[数学科目]
证明:必要性 已知AB为对称阵 转置 (AB)'=B'A' 又A'=A B'=B (AB)'=AB 所以有 AB=BA 充分性 已知AB=BA (AB)'=(BA)'=A'B' 又A'=A B'=B 所以(AB)'=AB AB为对称阵 命题得证
题2： 证明AB为对称阵的充要条件是AB=BA[数学科目]
因为A,B是同阶对称矩阵, 所以 A' = A, B' = B 所以有 AB是对称矩阵 <=> (AB)' = AB <=> B'A' = AB <=> BA = AB <=> A,B可
题3： 1．证明：如果A,B是同阶对称矩阵,则AB也是对称矩阵的充要条件是A与B可交换,即AB＝BA2．证明：设A为奇[数学科目]
因为 A,B是同阶对称矩阵,所以 A' = A,B' = B
所以有
AB是对称矩阵
(AB)' = AB
B'A' = AB
BA = AB
A,B可交换
题4： 若AB都为n阶对称矩阵,证明AB扔为对称矩阵的充要条件是AB等于BA[数学科目]
题5： 证明矩阵A和B对称的充分必要条件是AB=BA[数学科目]
题目不完全,首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件.
1、若A、B是对称矩阵,则根据对称矩阵的定义,（AB）T=AB,（T是上标,以下相同）,
而根据转置矩阵的重要性质,（AB）T=（B）T（A）T,而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,
所以AB=BA,即A和B可交换.
2、若AB=BA,即A和B是可交换矩阵,根据转置矩阵的重要性质,
（AB）T=（B）T（A）T,
而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA,
故（AB）T=AB,
故AB是对称矩阵.