【求ad乘bd的最小值】...ab点乘向量ac=-2，d是bc的中点，则ad的模的最小值..._数学_灯光zh056
编辑： admin 2017-15-06
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向量ab点乘向量ac=|AB|*|AC|*cosA=-2
|AB|*|AC|=4
以AB,AC为邻边做平行四边形ABEC AC=BE |AB|*|BE|=4
则AE=2AD
余弦定理
AE^2=|AB|^2+|BE|^2-2|AB|*|BE|*cos60°
=|AB|^2+|BE|^2-|AB|*|BE|
>=2|AB|*|BE|-|AB|*|BE|
=|AB|*|BE|
=4
|AE|>=2
|AD|>=1
AD的模的最小值=1
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 【在三角形abc中,D为BC中点,若角A=120°,向量AB乘AC=-1,则AD的模的最小值是】[数学科目]
向量AB乘AC=|AB|*|AC|*cos120°=-1
|AB|*|AC|=2
以AB,AC为邻边做平行四边形ABEC,
在△ABE中,∠ABE=60°,AE=2AD
余弦定理
AE^2=BA^2+BE^2-2BA*BE*cos60°=BA^2+BE^2-BA*BE>=2BA*BE-BA*BE=BA*BE=2
AE>=√2
AD>=√2/2
AD的模的最小值是√2/2
题2： 【在三角形ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则向量AD*向量BC=?】[数学科目]
可以延长线段AD,做DE=AD,再连接BE、CE.这样ABCE就是平行四边形.
向量AD=1/2向量AE
向量AD·向量BC=1/2向量AE·向量BC
=1/2（向量AC+向量AB）（向量AC-向量AB)
=1/2(AC的模方-AB的模方）
=1/2（9-4）
=2.5
题3： 在三角形ABC中,角BAC=120度,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD,则向量AD点乘向量BC=?[数学科目]
向量BC=向量AC-向量AB
向量AD=向量AC-向量DC
=向量AC-2/3向量BC
=1/3向量AC-2/3向量AB
向量AD点乘向量BC=1/3(向量AC)^2+2/3(向量AB)^2-向量AC点乘向量AB
=1/3+8/3-1*2*COS120
=4
题4： 【在三角形ABC中,AB=2,AC=3,D是BC的中点.则向量AD点乘向量BC等于多少?】[数学科目]
向量BC=向量AC-向量AB
因为D是BC中点,
向量AD=1/2（向量AC+向量AB）
所以向量AD×向量BC=1/2 （向量AC）2-（向量AB）2=1/2（9-4）=5/2
题5： 在三角形ABC中,AB=2,AC=3,D是BC的中点,则向量AD乘以向量BC=?[数学科目]
=2.5
首先建立直角坐标系以A为原点AC设在x轴上,则B轨迹为以A为原点半径为2的圆方程为x2+y2=4.设B为（a,b）则B满足方程.此时D的坐标为{（3+a）/2,b/2},向量AD同D坐标,向量BC为（3-a,-b）.向量AD乘BC为（3+a）*（3-a）/2-b*b/2=9/2-(a2+b2)/2,又a2+b2=4.得解.
嘿嘿,此题结果很巧妙为一定值,当三角形无法确定时,都可通过假设来完成.
想必你是高中生吧.