【三平面交于一点】如何证明三维空间中三个平面相交于一点？_数学_银西可
编辑： admin 2017-15-06
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三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.
求证:a,b,c相交于同一点,或a‖b‖c.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,bβ
∴a,b相交或a‖b.
(1)a,b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a,bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a,b,c都经过点P,即a,b,c三线共点.
(2)当a‖b时
∵α∩γ=c且aα,aγ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a,b,c两两平行.
由此可知a,b,c相交于一点或两两平行.
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 两两相交且共点的三条直线可确定一或三个平面,怎么证明[数学科目]
设三条直线为m,n,k,mn交于A,mk交于B,nk交于C,
首先相交直线mn构成一平面P,只需证明k也在P上即可,由于B在m上,C在n上,且m和n均在P上,因此B和C也在P上,又B和C均在直线k上,直线k上的两点B和C均在平面P上,因此k也在P上,否则直线和平面最多只有一个交点.由于m,n,k都在平面P上,且P已经由m与n惟一确定,因此m,n,k确定一个平面P.
题2： 如果三个平面两两相交于三条直线,请指出这三条直线的位置关系,并说明理由[数学科目]
平行或共点
证明很简单
就是证明,若三条直线不共点则一定平行,不会的话,可以加我
这应该是立体几何的基本知识里的题目吧
主要就是应用关于立体几何的三个公理
把你的问题写成一个结论就是：
三个平面两两相交于三条直线,则这三条直线要么相交于一点,要么互相平行.
证明：
两个思路
1.证明若不是互相平行则一定相交于一点
2.证明若不是相交于一点则一定互相平行
思路1的证明
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
根据平行公理可知,若a,b,c不是互相平行的,
则a,b,c中至少有两组直线不是互相平行的（自己想想为什么）
故可以假设a与b不平行,a与c不平行
若a与b不平行
因a,b含于α
故a,b一定相交
设a∩b=P
同理可设a∩c=Q
假若P与Q不是同一个点
显然P∈α,Q∈α
据公理2可知PQ含于α,同理可得PQ含于β,PQ含于γ
这样α,β,γ三个平面相交于一条直线,与题设矛盾
故P与Q是同一个点
这样就有a∩b=P且a∩c=P
即a,b,c相交于一点
或者简单一点
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
若a,b,c不是互相平行的,
则可以假设a与b不平行
若a与b不平行
因a,b含于α
故a,b一定相交
设a∩b=P
显然P∈γ,P∈β
故P∈β∩γ=c
即a,b,c相交于一点P
思路2的证明
其实思路1和思路2本质上是相同的
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
若a,b,c不是相交于一点
则对于a和b这两条直线而言
他们的关系就有两种（显然a与b共面,故排除了异面的情形）
a与b相交或a//b
假设a∩b=P
这样就又回到了思路1了
接下来可知这种情况下a,b,c相交于一点,与题设矛盾
故只能a//b
同理a//c这样由平行公理可知a//b//c
题3： 证明两两相交且不过同一个点的三条直线必定在同一个平面内.[数学科目]
定理:相交两直线必然在同一平面内
假设直线ABC两两相交.
证明：
∵直线A与B相交
∴直线A与B在同一平面内
∵直线C与B相交
∴直线C与B在同一平面内
∵直线A与C相交
∴直线A与C在同一平面内
∴直线A与B与C在同一平面内
题4： 【请问：如何证明,如果在三维空间中三个平面上的投影都为直线,则可以得出空间中也为直线?】[数学科目]
不妨设空间曲线C在xoy面上的投影是直线,即过C的投影面P1是平面；曲线C在yoz面上的投影也是直线,即过C的投影面P2也是平面；而C在P1和P2的交集上,必定是直线.证毕.你的题设条件可以改为“如果曲线在三维空间中两个不平...
题5： 证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么他们的交线垂直于第三个平面这题怎么证啊说说思路就好.[数学科目]
已知：a,b两平面相交且都垂直于平面c
求证：a,b的交线与c垂直
证明：
过a,b交线l上任意一点P（P不属于c）作c的垂线m.由于m垂直于c,平面a垂直于c,且P属于a,可以得出直线m属于a.同理,可以得到m也属于b.所以,m就是a和b的交线.证毕.