【通解怎么求】怎么求微分方程的通解_潘a多a拉0401
编辑： admin 2017-14-06
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一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解
二阶微分方程
y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2.
1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]
其他同学给出的参考思路：
求根公式，记得要带i
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 这个微分方程的通解怎么求呢[数学科目]
ydy/dx+x=0
ydy=-xdx
2ydy=-2xdx
积分：y2=-x2+C
即y2+x2=C
这是圆
题2： 【已知微分方程的通解怎么求这个微分方程比如1.x^2-xy+y^2=c2.e^(-ay)=c1x+c2如果能告诉一般方法就更好了】[数学科目]
已知微分方程的通解怎么求这个微分方程
答：求导!如：1.x^2-xy+y^2=c
等式两边对x求导：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0
故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或写成 2x-y-(x-2y)y′=0
若要求二阶微分方程则需再求导一次：
2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=0
2.e^(-ay)=c1x+c2
-ay′e^(-ay)=c?(一阶微分方程）
-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0,即a²(y′)²-ay〃=0(二阶微分方程）
题3： 求微分方程通解的疑问例如一个微分方程：dy/dx=2xy书上写通过两端求解可以得到ln|y|=x^2+c1-----(这里c1中的1是一个小1,在c的右下角)最后是y=+-e^(c1)e^(x^2)这个时候书上说+-e^(c1)是任意非0[数学科目]
这个是奇解问题,在非相关专业是不要求的,如果是学习常微分方程的课程可以继续往这章的后面看,会专门讲奇解的特性,在讲利亚普诺夫第二方法的时候还会给出奇解的物理和工程学意义,非常重要但是不用着急,越学到后面理解会越深刻.
如果学的是通用高等数学的话我来直观描述一下这个y==0的含义（但是无需掌握,这个不在教学大纲和考研大纲的要求内）：微分方程的通解是某一类曲线或者叫做一族曲线,这个概念可以理解为解析表达式会含有待定常数,如果这个待定常数变成变量的话,曲线也会在坐标轴上移动,所以会形成一族曲线.
而在我们解方程的时候,经常会碰到某一个非常特殊的解,它不能用通解的解析式来描述,但是却符合通解方程,这个解的曲线就显得非常特殊,叫做奇解.如果把奇解和通解画到坐标轴上,就能够发现任意一个通解都会与奇解相切,因此奇解的曲线又被叫做包络线.奇解的求解过程极为复杂,甚至很多不搞微分的数学专业的学生都不会研究这个东西,在高数之中更是无需求奇解的.
书上说的y==0也是原方程的解就是为了说明这一点,通解的解析式并非能够表示方程的所有解.
题4： 比如这个题
y'=dy/dx
原方程变为dy/(ylny)=dx/tanx
两边再同时积分就行了
题5： 【此微分方程的通解怎么求?】[数学科目]
伯努利微分方程,令z=1/y