【四边形abcd是正方形】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.∠AE..._数学_AOI圣诞二089
编辑： admin 2017-13-06
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（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，
∵取AB的中点M，点E是边BC的中点，
∴AM=EC=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
即∠MAE=∠CEFAM=CE∠AME=∠ECF
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，
（2）AE=EF仍然成立，理由如下：
在BA延长线上截取AP=CE，连接PE，则BP=BE，
∵∠B=90°，BP=BE，
∴∠P=45°，
又∠FCE=45°，
∴∠P=∠FCE，
∵∠PAE=90°+∠DAE，∠CEF=90°+∠BEA，
∵AD∥CB，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠PAE=∠CEF，
∴在△APE与△ECF中，∠P=∠FCEAP=CE∠PAE=∠CEF，
∴△APE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 如图,四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,∠AEF=90°,AE=EF,G是BC延长线上一点.（1）求证：CF平分∠DCG（2）若H为CD边的中点试判断四边形ECFH的形状并说明理由.（抄袭的答案不[数学科目]
题2： 【如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为边BC和CD上的点,且AE⊥EF.求证:∠1=∠2忘了】[数学科目]
证明：因为AE⊥EF
所以∠AEF=90度
又因为BC为线段
所以∠BEC=∠BEA+∠AEF+∠2=∠BEA+∠2+90度=180度
所以∠BEA+∠2=90度即∠BEA与∠2互余
又因为三角形ABE为直角三角形
所以∠BEA与∠1互余
所以∠1=∠2
题3： 【已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．】[数学科目]
答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，∠A＝∠EDPAE＝DE∠AEF＝∠PED
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．
题4： 如图,E是正方形ABCD的边BC的中点,CF平分∠DCG,且AE⊥EF.求证：①AE=EF.[数学科目]
在CG上取点H,使CH=BE,
则:EH=BC=AB作HF'⊥CG,交角DCG的平分线于F',则HF'=CH=BE连EF'
则:△ABE≌△EHF'所以,AE=EF'
且:∠BAE=∠HEF'
而:∠BAE+∠AEB=90所以,∠HEF'+∠AEB=90所以,∠AEF'=180-(∠HEF'+∠AEB)=180-90=90即:AE垂直EF'
而:AE垂直EF所以,
F、F'是同一点
所以:AE=EF
题5： 如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上的一点,且CF=1/4BC,试说明:AE垂直EF
因为在正方形ABCD中,E为CD中点,所以 DE=EC=1/2 AD
因为CF=1/4BC,且BC=AD,所以 CF=1/2 CE
因为角D=角C=90度
所以直角三角形ADE相似于直角三角形ECF
所以角DAE=角CEF,角AED=角EFC,且角DAE+角AED=90度
所以角AED+角CEF=90度
因为角AEF=180度-角AED-角CEF
所以角AEF=90度
所以AE垂直EF
以上