A为n阶方阵，那么(A^2)的逆等于A的逆的平方吗-
编辑： admin 2017-23-02
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A^2=AA
A逆^2=A逆A逆
所以,
A^2A逆^2=AAA逆A逆=A(AA逆)A逆=AIA逆=AA逆=I
所以,A^2的逆等于A的逆的平方
类似问题
类似问题1：设A是n阶方阵,且A的平方等于A,求A+E的逆[数学科目]
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类似问题2：设A是n阶方阵,且A的平方等于A,证明A+E的逆等于A－2E[数学科目]
(A+E)(A-2E)=A^2-2AE+EA-2E^2=A-2A+A-2E=-2E
所以A+E的逆应该是-(A－2E)/2吧
类似问题3：N阶方阵A B相似,A的平方等于A,B的平方等于多少[数学科目]
P^-1AP=B
B^2 = P^-1APP^-1AP = P^-1A^2P = P^-1AP = B.
类似问题4：n阶方阵A满足,A的平方=0,证A的秩大于等于n/2[数学科目]
（结论应该是r(A)=.不然取A=0直接得到矛盾）
考虑两个线性空间：
(1) A的列空间,即A的各列向量张成的线性空间.它的维数即是A的列秩,等于A的秩,即r(A).
(2) Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间.由基本定理,它的维数=n-r(A).
现在有A^2=A*A=0,所以A的各列向量均是Ax=0的解.这说明(1)是(2)的子空间,所以(1)的维数
类似问题5：设A是n阶方阵,且A的平方等于A,证明A+E可逆[数学科目]
假设A+E不可逆,则|A+E|=0
所以-1是A的一个特征值
设ξ是属于-1的一个特征向量
则A^2ξ = A(-ξ) = -Aξ = ξ
但A^2=A
所以A^2ξ = Aξ = -ξ
矛盾