...an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式

编辑： admin           2017-23-02         

（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故数列{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
=2(1?

2

n?1
)1?2+2
=2ⁿ（n≥2）
又a₁=2满足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知

b

n
＝2(

a

n
?1)

a

n
＝2(1?1

a

n
)
=2(1?1

2

n
)＝2?1

2

n?1

∴

S

n
＝2n?(1+1

2

1
+1

2

2
++1

2

n?1
)

=2n?1?1

2

n
1?12

=2n?2(1?1

2

n
)

=2n?2+1

2

n?1

由S_n＞2010得：2n?2+1

2

n?1
＞2010
，
即n+1

2

n
＞1006
，因为n为正整数，所以n的最小值为1006

提示：

这类问题可以这样做 构造数列 a(n+1)+Aan=B[an+Aa(n-1)] 注意A B为系数 可将此式整理后与已知式对比 求出A B 然后可得出 an+Aa(n-1) 这个整体为什么数列 至于首项 题中已知 然后求出通项公式 有时这类题还设一问 求an通项公式 这时若A=1的话可用叠加法 希望能帮到你...

类似问题

类似问题1：已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（1）证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．[数学科目]

（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加12

：

a

n
+12＝3(

a

n?1
+12)
，…2分
可见数列{

a

n
+12}
是以3为公比，以

a

1
+12＝32
为首项的等比数列．…4分
故

a

n
＝32×

3

n?1
?12＝

3

n
?12
．…6分
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

3

1
?12
+

3

2
?12
+…+

3

n
?12

=12
（3+3²+…+3ⁿ）-12
?n
=12
?3(1

?3

n
)1?3
-n2

=

3

n+1
?2n?34
…12分

类似问题2：已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn＝2(an?1)an，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小[数学科目]

（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故数列{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
=2(1?

2

n?1
)1?2+2
=2ⁿ（n≥2）
又a₁=2满足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知

b

n
＝2(

a

n
?1)

a

n
＝2(1?1

a

n
)
=2(1?1

2

n
)＝2?1

2

n?1

∴

S

n
＝2n?(1+1

2

1
+1

2

2
++1

2

n?1
)

=2n?1?1

2

n
1?12

=2n?2(1?1

2

n
)

=2n?2+1

2

n?1

由S_n＞2010得：2n?2+1

2

n?1
＞2010
，
即n+1

2

n
＞1006
，因为n为正整数，所以n的最小值为1006

类似问题3：已知数列（an）满足a1=1 a2=3 an+2=3an+1-2an 证明数列（an+1-an)是等比数列（2）求数列（an）的通项公式n+2和n+1为角标[数学科目]

由题意可知,

an+2 -an+1 =2(an+1 -2an)

且a2-a1=2,

所以是公比为2,首项为2 的等比数列.

求出an+1 -an的通向为an+1 =2^n+an

求和2^n,

Sn=2^n -2

所以,

an=a1+Sn

an=2^n -1

类似问题4：已知数列{an}中,a1=2,a2=4,a（n+1）=3an-2a（n-1） (1) 证明：数列{a（n+1）-an}是等比数列,并求出{an}通项公式.会证等比,但是an的通项公式怎么求?我怎么求的是2^(n+1) .哪里出错了?由题a2-a1=2a3-a2=4a4-a3=8.[数学科目]

你错在2+4+...+2^(n-1),而不是2+4+...+2ⁿ,共n-1项相加,不是n项.

证：

n≥2时,

a(n+1)=3an-2a(n-1)

a(n+1)-an=2an-2a(n-1)=2[an-a(n-1)]

[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2,为定值.

a2-a1=4-2=2,数列{a(n+1)-an}是以2为首项,2为公比的等比数列.

a(n+1)-an=2ⁿ

an-a(n-1)=2^(n-1)

a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)

…………

a2-a1=2

累加

an-a1=2+2²+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2ⁿ-2

an=a1+2ⁿ-2=2+2ⁿ-2=2ⁿ

数列{an}的通项公式为an=2ⁿ.

类似问题5：已知数列{an},a1=2,a2=4,a(n+1)=3an-2a(n-1),证明{a(n+1)-an}是等比数列.[数学科目]

因为a(n+1)=3an-2a(n-1)

所以a(n+1)-an=2an-2a(n-1) [a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2 q=2

因为a1=2,a2=4

所以首项是a2-a1=2

所以{a(n+1)-an}是等比数列.

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