如何求值域-求值域-数学学习资料
编辑： admin 2017-19-02
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如何求函数的值域
一 相关概念
1、值域：函数 ，我们把函数值的集合 称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
3、值域与最值的联系与区别：
联系：若函数同时具有最大值b和最小值a，则值域...
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类似问题
类似问题1：这道题值域如何求 [数学科目]
定义域是什么?
类似问题2：请问第六题 值域如何求
设sinx=t,原式为y=(2-2t^2+5t-1)^0.5,-1
=3y-1，∴sin（x+θ）=类似问题3：如何利用各种方法求值域[数学科目]
函数值域求法:
1.直接观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
2.配方法:配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
3.判别式法：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.
4.反函数法;直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.
5.函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.
6.函数单调性法
7.换元法:通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.
8.数形结合法:其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
9.不等式法:利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.
10.一一映射法原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的.故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围.
11.多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.
类似问题4：已知函数y=1+sinx3+cosx，则该函数的值域是 ______．[数学科目]
∵y=
∴3y+ycosx=1+sinx，即sinx-ycosx=3y-11+sinx 3+cosx
∴
sin(x+θ)1+ y
23y?1 1+ y
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4
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.
例1：求函数y=3+√(2－3x) 的值域.
点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域.
由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0,
故3+√(2－3x)≥3.
∴函数的值域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.
\x09练习：求函数y=[x](0≤x≤5.y,x∈N)的值域.
\x09（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝）
\x09
二．反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.
例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨：先求出原函数的反函数,再求出其定义域.
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝.
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.
\x09练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.
\x09（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
\x09
\x09
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.
点拨：将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求.
由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1,2].此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0,9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.
\x09练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.
\x09(答案:值域为{y∣y≤2.5})
\x09
\x09
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域,但只适用于定义域为R或R除去一两个点.
例4：求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域.
将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）+(y－3)≥0,解得：2＜y≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解.∴函数的值域为2＜y≤10/3.
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.
\x09练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域.
\x09（答案：值域为y≤－8或y>0）.
\x09
\x09
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.
例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.
∵3x2+x+1＞0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小.
当x=-1时,z=－5；当x=3/2时,z=15/4.
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝.
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.
练习：若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
\x09A．（－∞,＋∞） B．[－7,＋∞]
\x09C．[0,＋∞） D．[－5,＋∞）
（答案：D）.
六．图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.
例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.
点拨：根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.
原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1 2x-1(x>2) 它的图象如图所示. 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,＋∞]. 点评：分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法. 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域. 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域. 例1:求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域. 点拨：由已知的函数是复合函数,即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域. 设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝. 点评：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域. 练习：求函数y=3+√4-x 的值域.(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域. 例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域. 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域. 设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1). 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝. 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛. 练习：求函数y=√x-1 –x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合. 例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域. 点拨：将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域. 原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 . 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝. 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现. 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域. 例4:已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域. 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数. 由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当k=－3/5时,x=3/5,y=－4/5时,zmin=1. 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识. 练习：已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域. 点拨：将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和. y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1). ∵1/(x+1)≠0,故y≠3. ∴函数y的值域为y≠3的一切实数. 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法. 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式. 易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得,0＜x<1. ∴函数的值域（0,1）. 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域.不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛.是数学解题的方法之一. 以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2．Y=2x/(2x－1). （y>1或y<0） 注意变量哦~提示：
又-1≤sin（x+θ）≤1，∴-1≤
| 3y?1 | ||
|
解得0≤y≤
| 3 |
| 4 |
即函数y=
| 1+sinx |
| 3+cosx |
| 3 |
| 4 |
故答案为[0，
| 3 |
| 4 |
类似问题5：求值域. [数学科目]
等下我算给你