考研高数题 -高数试题-数学学习资料
编辑： admin 2017-19-02
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由于
2^(x^2) - 1 = e^[(x^2)ln2] - 1 ~(x^2)ln2 (x→0),
e^(3x) - 1 ~3x (x→0),
√(1+3x^3) - 1 ~ (1/2)(3x^3) (x→0),
所以
g.e. = lim(x→0){∫[0, (sinx)^2]ln[1+(t^2)]dt}/[(x^2)ln2*(3x)*(1/2)(3x^3)] (等价无穷小替换)
= [2/(9ln2)]lim(x→0){∫[0, (sinx)^2]ln[1+(t^2)]dt}/(x^6) (0/0,用L'Hospital法则)
= [2/(9ln2)]lim(x→0){ln[1+(sinx)^4]*2sinxcosx}/(6x^5)
= [4/(9ln2)]lim(x→0){[(sinx)^4]*sinxcosx}/(6x^5) (等价无穷小替换)
= [4/(9ln2)]/6
= ……
类似问题
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类似问题4：考研高数真题问题计算其中我用轮换对称性求为但结果答案是用球面坐标做的,我想知道我的计算哪里有问题?[数学科目]
轮换对称性的使用没有问题,但是被积函数x^2+y^2+z^2不能换成1（如果是曲面积分,替换是可以的.这是重积分与曲线积分、曲面积分的一个很显著的区别）
类似问题5：高等代数考研题设V是4维欧式空间,A是V的一个正交变换.若A没有实特征值,求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和.[数学科目]
感觉题目有点问题,最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和,否则A作为一个变换怎么分解为直和?
我得想法：
V是4维空间,则A的特征多项式为4次,又没有实特征值,从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积.
A在4维复空间内一定存在复特征值,且其虚部不为0,共轭成对,令为a1+ib1,a1-ib1,a2+ib2,a2-ib2,b1和b2都不为0,易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭,从而,一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量u,v,且
A(u+iv)=(a1+ib1)(u+iv),则
Au=a1u-b1v,
Av=a1v+b1u,(1)
u,v线性无关,否则令u=hv,则带入(1),可得到(h*h+1)*b1=0,这是不可能的,所以u,v线性无关
由（1）得u,v的生成子空间即为V在A下的一个不变子空间,同理可得另一个不变子空间.因为不同特征值的特征向量线性无关,从而这两个不变子空间的直和为V
这两个子空间的正交性还不知道怎么证明...