已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点
编辑： admin 2017-19-02
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（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠DGF=90°,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC,
∴
DE/CF=AD/CD；
（2）当∠B+∠EGC=180°时,
DE/CF=AD/CD成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠A=∠EGC=∠FGD,
∵∠FDG=∠EDA,
∴△DFG∽△DEA,
∴DE/AD=DF/DG,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,
∴∠CGD=∠CDF,
∵∠GCD=∠DCF,
∴△CGD∽△CDF,
∴DF/DG=CF/CD,
∴DE/AD=CF/CD,
∴DE/CF=AD/CD,
即当∠B+∠EGC=180°时,
DE/CF=AD/CD成立．
（3）
DE/CF=25/24．
理由是：过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,
∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,
∴∠A=∠M=∠CNA=90°,
∴四边形AMCN是矩形,
∴AM=CN,AN=CM,
∵在△BAD和△BCD中
AD＝CD
AB＝BC
BD＝BD
∴△BAD≌△BCD（SSS）,
∴∠BCD=∠A=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC+∠CBM=180°,
∴∠MBC=∠ADC,
∵∠CND=∠M=90°,
∴△BCM∽△DCN,
∴CM/CN=BC/CD,
∴CM/x=6/8,
∴CM=3/4x,
在Rt△CMB中,CM=3/4x,BM=AM-AB=x-6,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,
∴（x-6）2+（3/4x）2=62,
x=0（舍去）,x=192/25,
CN=192/25,
∵∠A=∠FGD=90°,
∴∠AED+∠AFG=180°,
∵∠AFG+∠NFC=180°,
∴∠AED=∠CFN,
∵∠A=∠CNF=90°,
∴△AED∽△NFC,
∴
DE/CF=AD/CN=（8/192）/ 25=25/24
．
类似问题
类似问题1：已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G．若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得DE/CF=AD/CD成立?并证明你的结论.[数学科目]
∠B与∠EGC互补
理由如下：
三角形CDF相似于三角形CGD(证明略）
所以CF/CD=DF/GD
然后证三角形DGF相似于三角形DAE（证明略）
所以DF/DE=DG/DA
所以DF/DG=DE/DA
所以CF/CD=DE/AD
所以DE/AD=CF/CD
So DE/CF=AD/CD
类似问题2：已知：如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E、F在AC上,且AE=CF.图中有哪些全等三角形?请分别加以证明.[数学科目]
图中的全等三角形有：三角形ABC和三角形ADC全等,三角形ABE和三角形CDF全等,三角形ADF和三角形CBE全等证明：因为AB=DCAD=BCAC=AC所以三角形ABC和三角形ADC全等（SSS)证明：因为三角形ABC和三角形ADC全等（已证）所以...
类似问题3：四边形ABCD是菱形,CE⊥AB,交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD延长线于点F.请你猜测CE和CF的大小有什么关系?并证明.[数学科目]
CE=CF
连接AC
因为四边形ABCD是菱形
所以AC是角FAE的角平分线
因为CF⊥AD,CE⊥AB
所以CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
类似问题4：已知?ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB边上的一动点，设AE=x，DE延长线交CB的延长线于F，设CF=y，求y与x之间的函数关系．[数学科目]
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠ADE=∠F，
∴△ADE∽△CFD
∴AD CF
| AE |
| CD |
| 2 |
| y |
| x |
| 4 |
∴y=
| 8 |
| x |
类似问题5：已知,如图,四边形ABCD中,AD⊥CD,BC⊥AB,AE平分∠BAD,CF平分∠DCB,AE交CD于点E,CF交AB于点F问AE与CF是否平行?为什么?[数学科目]
（你这道题我想了半天= =）平行.
∵AD⊥DC,BC⊥BF,四边形内角和360°,
∴∠BAD+∠DCB=180°；
∵AE平分∠BAD,CF平分∠DC+B
∴∠DAE=∠EAF;∠BCF=∠FCE
∴∠EAF+∠BCF=½×180°=90°
∵三角形内角和180°
∴∠BCF+∠BFC=90°
又∠EAF+∠BCF=90°
∴∠EAF=∠BFC
∴平行（同位角相等,两直线平行）