已知三个非零向量a，b，c中任意两个都不平行，但(向
编辑： admin 2017-27-02
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类似问题
类似问题1：已知向量a,b.c都是非零向量,其中任意2个向量都不平行,已知向量a+b与向量c平行,向量a+c与向量b平行.求证向量b+c与向量a平行.[数学科目]
∵a+b‖c,a+c‖b,且a,b,c非零且互不平行
∴可以设：a+b=nc,a+c=mb(n,m≠0)
联立上两式,
∵b=nc-a
∴a+c=mb=m(nc-a)
(mn-1)c=(m+1)a
1、当：mn=1,则得：0=(m+1)a,因为a≠0,所以m+1=0,m=-1,故n=-1
此时：a+b=-c,a+c=-b,易得：b+c=-a,即a,b,c是一个三角形首尾相连的三条边向量,满足向量b+c与向量a平行.
2、当：mn≠1,可解得：
c=(m+1)a/(mn-1)
同理解得：
b=(n+1)a/(mn-1)
但是a,b,c非零且互不平行,故定有m+1=0,n+1=0,得m=-1,n=-1,mn=1,与这种情况的条件矛盾.所以这种情况不可能存在.
∴综上：a,b,c就是一个三角形首尾相连的三条边向量,且向量b+c与向量a平行.
类似问题2：已知向量abc都是非零向量,其中任意2个向量都不平行,已知(a+b)与c平行,(a+c)与b平行,求证(b+c)与a平行其中a b c都是向量[数学科目]
(a+b)与c平行,因此可以设(a+b)=k1c
(a+c)与b平行,因此可以设(a+c)=k2b
两式相减有(b-c)=k1c-k2b
即(k1+1)c=(k2+1)b
由于c和b不平行且都不为0,因此有
k1=k2=-1
所以
(a+b)=-c
(a+c)=-b
把两式加起来有
(2a+b+c)=-(b+c)
即a=-(b+c)
因此(b+c)与a平行
类似问题3：零向量与任意向量平行,若a‖b,b‖c,则a‖c,零向量是没有方向的这三句话,哪一句是对的,其中abc为向量[数学科目]
只有第一句是对的~
第二句,只有是非零向量才会成立（反例,b为零向量）；第三句,教材上规定,零向量与任一向量平行,实际上零向量的方向是任意的,而非没有方向.
类似问题4：已知非零向量abc中任意两个都不平行,且(a+b)//c,(b+c)//a,a+b+c=?[数学科目]
0向量
因为(a+b)//c,(b+c)//a,设a+b=αc,b+c=βa
两式相减得a-c=αc-βa,移项得（1+α）c=（1+β）a
因为向量a、c中不平行,所以只有1+α=0,1+β=0
即α=-1,β=-1
也就是a+b=-c
类似问题5：设a、b、c都是非零向量,其中任意两个向量都不平行,已知a+b与c平行,且b+c与a平行,证明a+c与b平行.[数学科目]
由题,设
c=xa+xb （1）,ya=b+c （2）,
把1代入2得：ya=b+xa+xb,即 （y-x）a=(1+x)b,
因为a b不共线,所以y=x,
再交换格式,mc=a+b,a=nb+nc,
同理,m=n,
所以得c=a+b,a=b+c,
两式相加得：a+c=b
所以a+c与b平行.
不光证明了平行还证明了相等