因式分解中提到的主元法，谁能解释一下为什么可以用主元
编辑： admin 2017-27-02
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主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解.
较为简单的例用
1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc. 分析：如果懂得因式定理的话,解此题自然会流畅很多,但是用主元法的话,也十分简便. 拆开原式,并按a的降幂排列得： (b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b(bc+c^2) =(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】 十字相乘图为 x--------------- b (b+c)x -----bc+c^2 对于低次因式分解,主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的. 2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4 分析：本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了. 原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】 =(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】 十字相乘图为 (y-1)^2x^2 ----8y x^2 ------------2 如果能很好地利用主元法,低次因式分解就不会太难了.
高难度的主元法例用
1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz 分析：本题属于高难度因式分解中的中档题,如果不假思索就上别的方法,就会处处碰壁. 1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】 这样本题的条理就清晰多了,现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz, 这是一个2元三次因式分解,难度简单多了. 原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】 =(2y-3z)(y-5z)(3y+z) 再代入原题目,接下来的工作就简单了. 由于首项x系数为2,所以本题难度综合来讲不是太难,算出系数2是与(y-5z)结合的. 所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】 接下来的部分,有兴趣的人可以看看.
旷世难题型的因式分解
竞赛类的学生,因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习, 6x^4+18mx^3-6x^3y+30x^2yz-42x^2y^2+6mx^2y-6x^2mz-6x^2z+12x^2m^2+5px^3+5yx^3+15pm-5py+25pyz+25y^2z-30py^2-30y^3+5mpy+5my^2-5pmz-5myz-5pz^2-5yz^2+10pm^2+10m^2y+10yzx^2+30myzx-10xy^2z+50y^2z^2-60y^3z+10my^2z- 10myz^2-10yz^3+20m^2yz-18my^2x+6xy^3-30y^3z+36y^4-6my^3+6my^2z+6y^2z^2-12y^2m^2+10x^2zp+30zpmx-10zpyx +50yz^2p-60y^2zp-2zpmy-10z^2pm-10z^3p-12x^2zp-36mypx+12y^2px-60y^2pz+72y^3p-12my^2p+12ypmz+12ypz^2-24m^2yp-6p^2x^2-18mxp^2+6xyp^2-30yzp^2+36p^2y^2-6myp^2+6p^2mz+6p^2z^2-12P^2m^2+24x^2z^2+72mz^2x-24yz^2+120yz^3-144y^2z^2+24myz^2-24mz^3+24z^4+48m^2z^2 终于,在其他方法都几乎失效时,主元法的威力体现了出来. 分析：看题目的确很长,但仔细观察也能发现其弱点. 1.没有常数项. 2.首项x的系数很小,预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式. 3.自开始起,一部分是6的倍数,紧接着是5的倍数,直到至-2zpmy这一项时,这个特点断掉了. 解题开始： 令x,y,z,p都为0,原式变成了--------2m^2 令x,y为0,原式变成了---------------12p^2m^2 令x为0,原式=-12y^3.+12p^2m^2,此时正是用主元法的时候, 解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法,拆项法,十字相乘法,提取公因式法】 解下来抱歉的是本人实在无能为力,通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中,实际上还是要用主元法, 原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m) 对于这题,硬碰硬是不行的.
类似问题
类似问题1：一元二次因式分解法3X^2+10X+3=0 怎么转换成（3X+1)(X+3)其实这是书上的例题,但听来听去没听懂 所以请大家帮解释得清楚点[数学科目]
首先要看 x^2 x 前的系数 和常数项
在本题内分别是 3 10 3
然后把 x^2前的系数和常数项做分解
3可以看做1*3 后面也是3=1*3
3 1
1 3
这里前面第一列（竖着的）的3 1 是由x^2前的3得来的
后面一列的则是由常数项的3得来的
然后用左上角的3和右下角的3相乘的9
左下角的1和右上角的1相乘得1
发现9+1正好得x项的系数10
第一列的两个数是由x^2前系数分解得来的 放在 x 前
所以可以把原方程转换成（3X+1)(X+3)
这是这道题 如果换一道带负号的也是一样的解法
比如
6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)
这里二次项x^2系数为6
一次项x系数为 -1
常数项为 -2
可以把6分解为 2*3
-2分解为 1*（-2）
2 1
3 -2
2*（-2）+3*1=-1 正好为一次项前系数
（注：如果在这里你算的两个数相加不等于一次项的系数可以把竖列的两个数交换位置再算一下 另外有些数不知有一种分解方法 如8=1*8=2*4 这都是在因式分解时需要注意的）
所以就可以得到 6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)
你看明白了吗?希望我的解释能对你有些帮助：）
类似问题2：用因式分解法 解一元二次方程 一定要用因式分解法哦~要具体过程,谢谢~1/2x的平方+7/2x+5=0-x的平方+3x+8=0[数学科目]
1/2x的平方+7/2x+5=0
1/2（x²+7x+10）=0
1/2（x+2）（x+5）=0
x+2=0 x+5=0
x1= -2 x2= -5
-x的平方+3x+8=0
-（x²-3x-8）=0
-【x-（3+√41）/2】【x-（3-√41）/2】=0
x-（3+√41）/2=0 x-（3-√41）/2=0
x1=（3+√41）/2
x2=（3-√41）/2
类似问题3：因式分解法解一元二次方程题,顺便告诉一下秘诀x^2+2mx+m^2-n^2=0x^2-ax+(a^2/4)-b^2=0X^2-bx-2b^2=0大哥大姐们顺便告诉我一下因式分解法解一元二次方程的秘诀吧[数学科目]
m^2-n^2 = (m+n)(m-n)
x^2+2mx+m^2-n^2=0
(x+m-n)(x+m+n) = 0
x1=n-m x2=-n-m
--
(a^2/4)-b^2 = (a/2+b)(a/2-b)
x^2-ax+(a^2/4)-b^2=0
(x-a/2+b)(x-a/2-b)=0
x1=a/2+b x2=a/2-b
--
x^2-bx-2b^2=0
(x - 2b)(x + b) = 0
x1 = 2b x2 = -b
秘诀就是靠RP...
类似问题4：这题因式分解法x(平方)-3ax+(2a+b)(a-b)=0怎么分法?我苯来看不懂x1=2a+b x2= a-b中间步这样的[x-(2a+b)][x-(a-b)]是我太苯,还是题目出错拉?怎么看都到不了这步啊[数学科目]
没错的,不知道你们老师有没有讲过下面这种解法
1 -（2a+b)
1 -(a-b)
x平方那项系数是1很简单
x的系数就是-（2a+b)-(a-b)=-2a-b-a+b=-3a
那个答案x1、x2是假设的,
x1+x2=2a+b+a-b=3a
原式就变成x平方-（x1+x2)x+x1x2
再代回去就是答案啦
类似问题5：一元二次方程因式分解法当二次项系数不为1时,不经过化简怎样分解因式,谢谢了,举个例子.[数学科目]
举例：2x^2+3x+1=0
用因式分解法中的十字相乘法：
x 1
2x 1
_______
2x+x=3x
分解为（X+1）(2x+1)=0
x1=-1,x2=-1/2