...AB相交与点D，与椭圆相交与EF两点.1.若E
编辑： admin 2017-27-02
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直线AB方程y=1-x/2,与y=kx联立解得D点横坐标Xd=2/(2k+1),
椭圆方程x²/4 + y²=1,与y=kx联立解得E点坐标Xe=-2/√(4k²+1),Ye=-2k/√(4k²+1),F点横坐标Xf=2/√(4k²+1),Yf=2k/√(4k²+1),
（1）由于ED=6DF,代入定比分点公式：Xd=(Xe+6Xd)/7
2/(2k+1)=10/[7√(4k²+1)],解得k=3/8或k=2/3
（2）把四边形AEBF分成两个三角形,△ABE和△ABF,它们有公共底边AB,|AB|=√5
两条高分别是点E和F到直线x+2y-2=0的距离D1和D2
D1=|Xe+2Ye-2|/√5=|-(4k+2)/√(4k²+1) -2|/√5=[(4k+2)/√(4k²+1) +2]/√5
D2=|Xf+2Yf-2|/√5=|(4k+2)/√(4k²+1) -2|/√5=[(4k+2)/√(4k²+1) -2]/√5
四边形AEBF的面积S=(D1+D2)|AB|/2=(4k+2)/√(4k²+1)
=2(2k+1)/√(4k²+1)=2√[(4k²+4k+1)/(4k²+1)]
=2√[1+ 4k/(4k²+1)]=2√[1+ 4/(4k+1/k)]≤2√[1+ 4/(2√4)]=2√2
当且仅当4k=1/k,即k=1/2时四边形AEBF的面积取得最大值2√2
提示：
直接联立就行了
类似问题
类似问题1：已知椭圆C：X²／a²＋Y²／b²=1（a＞b＞0）的离心率为√6／3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3（1）求椭圆C的方程（2）设直线L与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线L的距离为√3[数学科目]
(1)∵椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
∴椭圆的焦点在X轴上
∵短轴一个端点到右焦点的距离为√3
∴b^2+c^2=3=a^2
∴a=√3
又∵e=√6/3=c/a
∴c=√2,b=1
∴椭圆C：x^2/3+y^2=1
(2)设直线l：y=kx+b
∵坐标原点O到直线l的距离d为√3/2
则由点到直线距离公式,得：
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
则b^2=(3/4)(k^2+1)
∵直线l与椭圆C交与A,B两点
∴设A(x1,y1)B(x2,y2)
则由直线和椭圆相交弦长公式,得：
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
∵椭圆C:x^2/3+y^2=1
直线l:y=kx+b
则联立可得：
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
由于：A,B为其交点,
则x1,x2为方程的两根
则由韦达定理,得：
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
∴|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
设t=1/(3k^2+1) (t∈(0,1])
∴|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
则当t=1/2时,|AB|max=2
此时k=±√3/3
∴S△AOBmax=(1/2)|AB|dmax
=(1/2)×2×(√3/2)
=√3/2
类似问题2：椭圆性质 [数学科目]
解,设AF2为t,则BF2为3 t,AF1为2a-t,BF1为2a-3t,由斜率为1知AB与x轴成角一个为45°一个是135°.再用cosB=a²+c²-b²/2ac带入三边和角列出一个方程组,解之可得t=a²-c²/a+csin45和t=a²-c²／3a-3csin45再连立求解得出 a与c的关系即可
类似问题3：一道数学椭圆的题目!在线等!已知椭圆x的平方/4+y的平方的左,右焦点分别为F1,F2,过原点做直线与椭圆交与A,B两点,若三角形ABF2面积为根号3,求直线方程已知椭圆x的平方/4+y的平方=1的左，右焦点[数学科目]
x^2/4+y^2=1a=2,b=1,c=√3设A,B两点的纵坐标为y1,y2.则三角形ABF2面积为(1/2)*√3*|y1|+(1/2)*√3*|y2|=√31/2(|y1|+|y2|)=1|y1|+|y2|=2,A,B两点的对称性质|y1|=|y2|,|y1|=|y2|=1=b,所以直线方程为x=0...
类似问题4：数学概率题、、椭圆题.俩人比赛 甲获胜率0·6乙的为0·4先胜两局者胜利 求甲比赛胜利的概率椭圆方程过一点（2,根2）离心率二分之根二、求此方法[数学科目]
甲胜只有三种情况：甲胜甲胜 甲胜乙胜甲胜 和乙胜甲胜甲胜 0.6*0.6+0.6*0.4*0.6+0.4*0.6*0.6=0.648
期望：3*0.6=1.8
2.c/a=1/√2,∴a^2=2c^2=2b^2,
∴4/(2b^2)+2/b^2=1,b^2=4,
∴椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1
类似问题5：第五题, [数学科目]
4-k>0,6+k>0,4-k不等于6+k,联立以上不等式得（-6,4）切不等于-1