两个同底的正三棱锥内接于同一球(在线等候)两个同底.
编辑： admin 2017-27-02
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解答见附图.右图为左图的纵切面图.线面等关系的证明有些跳步.
类似问题
类似问题1：正三棱锥A-BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为______．[数学科目]
如图，设三棱锥A-BCD的外接球球心为O，半径为r，
BC=CD=BD=3
令AM⊥平面BCD，则M为正△BCD的中心，
则DM=1，AM=3，OA=OD=r，
由图知(3-r
)
2+1=r
2，解得r=23，
所以S=4π
r
2=163π．故答案为：163π
类似问题2：球的内接正三棱锥的侧棱两两垂直,长度分别为1,2,3,则该球体积为?长方体体对角线是啥？[数学科目]
这三条棱两两垂直,那么相当于长方体的一个“角”,球的半径就是长方体体对角线的长的一半.
[√(1²+2²+3²)]/2=r
r=(√14) /2
4πr³/3 = 4π×14×√14/(3×8）= (7π√14)/3
类似问题3：正三棱锥的外接球体积与内接球体积之比是多少?求具体解答方法.[数学科目]
体积比1:27
设正四面体为PABC,由于对称,两球球心重叠,设为O.
设正四面体为PABC的内切球半径为r.
设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,其垂直于底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高.
设正四面体PABC底面面积为S.
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结,可以得到4个全等的正三棱锥,体心为顶点,以正四面体面为底面.
每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r
而正四面体PABC体积V2=1/3*S*（R+r）
根据前面的分析,4*V1=V2
所以,4*1/3*S*r=1/3*S*（R+r）
所以,R=3r
由于球体积公式为V=（4/3）лr^3
故正四面体外接球与内切球体积之比=1:27
类似问题4：正三棱锥高为1,底面边长为2根号6,内有一球与四个面都相切求：1）求棱锥的全面积；2）求球的半径以及表面积[数学科目]
见图
类似问题5：正三棱锥底面边长为2倍根号6,高为1,求内切球的表面积和体积[数学科目]
(1)（设三棱锥的编号为ABCD,A为顶点,BCD为正三角形,并设其中心点设为H,由题可知,AH为高,BC为地面边长,过A点作BC边的垂线,垂足为E,连接HE、HB,根据三角关系分别算出：
HE=√2,HB=2√2,AE=√3.
（2）在AH上取一点Q,使该点到底面的距离和该点到棱面得距离相等,即过Q点作面ABC的垂线,该垂线必与AE相交,交点为F,QF=QH（QF必为内切圆的半径）.
令QF=x,则AQ=1-x,根据三角形AQF与AHE相似的关系,必有 QF/HE=AQ/AE
即x/√2=（1-x）/√3
解得x=√6 - 2,即 内切圆半径QF=√6 - 2.
（3）内切圆的表面积S=（40-16√6 ）*PI
体积V=4/3*PI*(QF的立方）{自己算一下}