...cx(c∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性

编辑： admin           2017-25-02         

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，
f′（x）=1x

-c=1?cxx
．
当c≤0时，f（x）单调增区间为（0，+∞）．
当c＞0时，f（x）单调增区间为（0，1c
），f（x）单调减区间为（1c
，+∞）
（ II）∵f（x）≤x²，∴lnx-cx≤x²，
∴c≥lnxx?x
．
设g（x）=lnxx?x
，∴g′（x）=1?lnx?

x

2

x

2
，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）的最大值为g（1）=-1，∴c≥-1．
（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴ln

x

1
?lnx

x

1
?

x

2
＝c
，②
而x₁?x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：ln

x

1
?ln

x

2

x

1
?

x

2
（x₁+x₂）＞2，
不妨设x₁＞x₂＞0，则t=

x

1

x

2
＞1
，
上式转化为：lnt＞2(t?1)t+1
，t＞1
设H（t）=lnt-2(t?1)t+1
，t＞1，
则H′（t）=(t?1

)

2
t(t+1

)

2
＞0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞2(t?1)t+1
成立，
故所证不等式x₁?x₂＞e²成立．
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