5已知，两向量组有相同的秩，并且其中之一可以由另一组
编辑： admin 2017-23-02
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证:设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示,且
r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt).
由 向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示
得 r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt) = r(b1,b2,...,bt)
而 r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt),
所以 r(a1,a2,...,as) = r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以 a1,a2,...,as 的极大无关组就是 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 的极大无关组
所以 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 线性表示
所以 b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 线性表示
所以两个向量组等价.
类似问题
类似问题1：已知两个向量组有相同的秩,且其中一组可由另一组线性表出.证明这两个向量组等价.已知两个向量组有相同的秩，且其中一组可由另一组线性表出。证明这两个向量组等价。[数学科目]
设两个向量组为ab
∵a可以由b线性表出,∴R（a,b）＝R(b)
又∵R(a)=R(b),∴R(a)=R(b)=R(a,b)
∴a与b等价
类似问题2：设两个向量组有相同的秩,且其中一个可被另外一个线性表出,证明这两个向量组等价[数学科目]
可以用利用线性无关的定义来证.
这里有一种较取巧的证法：
设向量组A与向量组B有相同的秩为r,A可由B线性表出,则A 有极大线性无关组（a1,a2,...,ar) B
有极大线性无关组(b1,b2,...,br)
将之放到一起组成向量组C（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br) ,则由于b1,b2,.,br 可线性表出a1,a2,...,ar 中的任意一个,所以由极大线性无关组的定义,b1,b2,...,br是C中的极大线性无关组,于是C的秩为r,但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的,因此也是C的极大线性无关组,这样 a1,a2,...,ar 就与b1,b2,...,br等价,因此A与B就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）
类似问题3：已知两向量组有相同的秩,证明两向量组等价[数学科目]
命题有误
反例:(1,0,0),(0,1,0) 与 (1,0,0),(0,0,1) 秩都是2,但它们并不等价.
正确结论是:
已知两向量组有相同的秩,且其中一个向量组可由另一个向量组线性表示,则两向量组等价
类似问题4：设向量组（1）可由向量组（2）线性表出,且秩r（1）=r（2）,证明向量组（1）与（2）等价[数学科目]
设 r（A）=r（B）= r
则 A 的极大无关组 A1 可由 B 的极大无关组 B1 线性表示
所以存在矩阵K满足 A1 = B1K --这里A1,B1是向量组构成的矩阵
因为B1线性无关,所以 r(K)=r(A1)=r
所以K是r阶可逆矩阵
所以有 B1 = A1K^-1
即知 B1 可由 A1 线性表示
所以 A1与B1等价
所以 A 与 B 等价.
类似问题5：α1,α2…αr与向量组β1,β2…βs的秩相等,α1,α2…可由β1β2…线性表示,证明两向量等价[数学科目]
因为 α1,α2…可由β1β2…线性表示
所以 r(β1,β2…)=r(α1,α2…,β1,β2…)
又因为 r(β1,β2…)=r(α1,α2…,)
所以 r(β1,β2…)=r(α1,α2…,β1,β2…)=r(α1,α2…,)
所以 两向量组等价.