...点a b在oq上 ob=ab ac⊥on于点c
编辑： admin 2017-12-03
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如图①,∠MON=60°,OQ平分∠MON,点A,B在OQ上,OB=AB,AC⊥ON于点C,P是OM上一动点.
（1）在图②中,若AP∥ON,试说明PB⊥OA.
（2）点P在OM上运动时,若AP与ON不平行,还有使△OPA为等腰三角形的情况吗?如果有,求出此时∠PAO的度数.
（3）在图①中随着点P的运动,PB+PA是否存在最小值?如果不存在,直接下结论；如果存在,画出图形,简要写出画法.
图① 图②
答：
1）
因为：OQ是∠MON的平分线
所以：∠MOQ=∠NOQ
因为：AP//ON
所以：∠NOQ=∠PAO
所以：∠PAO=∠MOQ=∠POA
所以：△PAO是等腰三角形
因为：BO=AB
所以：PB是等腰三角形底边AO上的中垂线
所以：PB⊥OA
2）
∠NOQ=∠PAO=∠MON/2=60°/2=30°
当∠PAO=∠OPA=(180°-30°)/2=75°时△PAO是等腰三角形
当∠POA=∠OPA=30°时△PAO是等腰三角形,此时∠PAO=180°-30°-30°=120°
所以：存在点P使得PA不平行NO,并且使得△PAO是等腰三角形
所以：∠PAO=75°或者120°
3）存在点P使得PB+PA有最小值
画法：
过点O作OG⊥ON
因为：∠NOQ=∠MOQ=∠MOG=30°
所以：OM是∠QOG的平分线
作点A关于OM的对称点A‘在OG上
连接A'B交OM于点P
则点P即为所求点,使得PB+PA有最小值A'B
类似问题
类似问题1：如图,A是∠MON边OM上一点,AE‖ON,在图中作∠MON的角平分线OB,交AE与点B（AE是平行于ON的一条射线）作∠MON的角平分线OB,交AE于B,过A画OB的垂线,垂足为点D,交ON于点C,连接CB,证明四边形OABC是菱形[数学科目]
证明：
∵OB平分∠MON AC⊥OB
∴∠BON=∠BOM ∠ODC=∠ODA
又OD=OD
∴△ODC≌△ODA
∴OC=OA DC=DA
又AB‖OC AC⊥OB
∴∠ODC=∠ADB ∠OCD=∠BAD
∴△ODC≌△EDA
∴DO=ED OC=EA
∴OABC是棱形（一组对边平行切相等 对角线互相垂直平分 相邻2边相等）
类似问题2：如图,在∠MON的边OM,ON上分别取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B,交OM于E,设AD,BE交于C点,若过O,C作射线OC,试问OC评分∠MON吗,请说明理由.[数学科目]
Rt△OAC和Rt△OBC中,
∵OA=OB,OC=OC
∴Rt△OAC全等于Rt△OBC
∴∠MOC=∠NOC
即OC平分∠MON
类似问题3：如图,OA⊥OB,OC为射线,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.（1）若∠AOB=60°,求∠MON的度数（[数学科目]
题目自相矛盾哦：OA⊥OB,∠AOB又怎么等于60°,写清楚题目再问,OK?
类似问题4：如图,钝角∠AOD=α,OB/OC/OM/ON是∠AOD内的射线.OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,∠BOC=20°,∠MON=60°,求α.要过程[数学科目]
α=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=2(∠MOC+∠NOB)-∠BOC
=2(∠MON+∠BOC)-∠BOC
=2∠MON+∠BOC
=2*60+20=140°
类似问题5：如图,已知OM,ON分别平分∠AOC,∠BOC,若∠MON=45°,则OA⊥OB,你能说明为什么吗?
∵OM平分∠AOC
∴∠COM=∠AOC/2
∵ON平分∠BOC
∴∠BON=∠CON=∠BOC/2
∵∠MON=∠COM-∠CON
=∠AOC/2-∠BOC/2
=(∠AOC-∠BOC)/2
=∠AOB/2=45
∴∠AOB=90
∴OA⊥OB