求详解一下狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数.但是对这.
编辑： admin 2017-12-03
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一、
实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数：
D(x) = 0 (x是无理数)
1 (x是有理数)
1、定义域 R ,值域 {0,1}
2、奇偶性
∵ x 和 -x 同为有理数或同为无理数
∴ D(-x) = D(x)
又定义域是 R
故 为偶函数
3、周期性
对于无理数T
当x为有理数时,x+T是无理数,D(x+T) ≠ D(x)
∴无理数不是周期
对于任意非零有理数 T,
若x是有理数,则x+T也是有理数,D(x+T) = D(x) = 1
若x是无理数,则x+T也是无理数,D(x+T)= D(x) = 0
故 周期为任意非零有理数.
4、连续性
连续性是高数里的概念,通俗的说就是函数的每个点是连在一起的.
例如 y=x在R上是连续的,y=1/x 在x=0处不连续,但在[1,2] 这样的区间是连续的.
狄利克雷函数在每一处都是不连续的.
因此我们无法画出它的图像.
5、可导性
通俗的说,可导就是在某一点是平滑的,例如y=x²图像上的点,都是可导的
y=|x| 在 x=0处是不可导的,在其他点是可导的.
狄利克雷函数处处不可导.
二、魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数.
将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大,所得到的局部图都和整体图形相似.因此,无论如何放大,函数图像都不会显得更加光滑,也不存在单调的区间.
你可以想象一下,函数的每一个点都是像y=|x| 在 x=0的那个点.
类似问题
类似问题1：一个函数可以展开为傅里叶函数的狄利克雷条件是什么——《信号与系统》[数学科目]
狄利克雷充分条件:
1)f(x) 连续 或者 只有有限个第一类间断点(即 可去/跳跃)
2)f(x) 只有有限个极值点
并且:
1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x)
2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于[f(x-)+f(x+)]/2
类似问题2：“你就是一只薛定谔的猫,我就是一只莱洛三角形,他们都是魏尔斯特拉斯函数,有谁愿意做克莱因瓶的?”不懂这句话的意思.[数学科目]
看一下"禅师体"的百度百科,都有.
薛定谔的猫：死活不确定,看一眼也许就把它杀死了（一般的猫不是死的就是活的）
莱洛三角形：做的轮子像圆的一样,滚起来不会上下抖动（虽然有点像三角形）
魏尔斯特拉斯函数：处处连续,但处处不可导（一般函数只在某个点连续且不可导）
克莱因瓶：没有内外之分,任何地方都可以认为是内部,也可以认为是外部
整句话的意思自己理解吧.
类似问题3：狄利克雷原理和特征函数分别是什么,分别有什么用法~举几个例子3楼的特征函数没懂~[数学科目]
狄利克雷原理就是我们平时说的抽屉原理
把N+1个东西放进N个抽屉里 至少有一个抽屉里有不只一个东西
特征函数是一种构造函数,是传立叶变换的一种形式,一般以φ(x)表示
φ(x)=E(e^jtξ) （即 x=e^jtξ 时的期望.j为虚数单位.
类似问题4：几何画板如何画魏尔斯特拉斯函数如题[数学科目]
那个函数是画不出来的~几何画板弱爆了……这个函数定义本身就很奇葩……
mathematica就不知道可不可以了~我估计也是不行……
类似问题5：证明魏尔斯特拉斯函数?简洁些[数学科目]
由于无穷级数的每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 \sum_{n=0} ^\infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)都是{\mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{\mathbb R}上的连续函数.
下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x \in {\mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x'_n),使得
:\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕