复合函数极限运算法则里的条件这个一定要存在么？下面.

编辑： admin 2017-01-03

梳理如下：

第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”.

例①,ψ(x)=1 (x∈R),

f(u)为分段函数：当u≠1时,f(u)=u；当u=1时,f(u)=2,

取x0=1,则u0=1,【ψ(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2,2≠1,

即lim(x→1)f(ψ(x))≠A,即定理1的结论不成立.

第二个问题：关于例子x*sin(1/x),

首先,这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x,g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x),

而不是由两个函数的复合构成的.

仅从这一点来说,把这个例子用在这里并不合适.

不过,这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x,f(u)=sinu.

其次,函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0,这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量.

这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解.

所以,关于例子x*sin(1/x),无论你取 x等于或不等于1/nπ,只要x→0,它的极限就是0.

对此,原问题中的陈述不正确.

从这一点来说,把这个例子用在这里也不合适.

合适的例子是上面的例①.

第三个问题：细化一下,

在定理1中是说,“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”,

也就是说,是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以.

例如,ψ(x)=sinx (x∈R),

取x0=0,则u0=0,

【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立,比如在去心邻域（-1/2π,1/2π）成立】

【而在x0的以远,比如在去心邻域（-2π,2π）,ψ(x)≠u0就不成立】

这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”.

如果不存在这样的邻域,则就不符合条件.

提示：

x*sin(1/x)

当x不等于1/nπ时，x趋近于0时，此函数的极限并不是1，还是0，因为一个无穷向量乘以一个有界量还是无穷小量

我想，你肯定是把x*sin(1/x)和（sinx）/x搞混淆啦，前者是x趋于无穷大的极限是1，而后者是x趋于0的极限是1