在三角形ABC中，1) BD=CD 2) BE=CF
编辑： admin 2017-01-03
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任何两个,可以推出第三个.
方法：作辅助平行线.共12条辅助线,12钟证法
已知：AE=AF CF=BE
求证：BD=CD
证明：作CM∥EF交AE于M
∴ME/AE=CF/AF
∵AE=AF
∴ME=CF
∵CF=BE
∴ME=BE
∵DE∥CM
∴BD/CD=BE/ME
∴BD=CD
提示：
BD=CD,BE=CF
延长FE到H，使得BH平行于CF
∴四边形FCHB为平行四边形。
∵BE=CF,CF=BH,
∴BE=BH,角BEH=角BHE
∴角BHE=角BEH=角AEF=角AFE
∴AE=AF
类似问题
类似问题1：如图所示,ABC是一个三角形,AE=3分之一BE,AF=CF,三角形ABC的面积比是多少?[数学科目]
连结BF,因为F是AC中点,
△ABF与△ACF等底同高,所以△ABF与△ACF的面积相等,
即△ABF的面积=1/2△ABC的面积.
△AEF与△ABF的底分别是AE与AB,高相同,
由已知：AE=1/4AB,
所以△AEF的面积=1/4△ABF的面积.
综上可知：△AEF的面积=1/8△ABC的面积.
类似问题2：如图 AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．[数学科目]
证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE．
类似问题3：如图 AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．[数学科目]
证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE．
类似问题4：三角形ABC中,BD:CD=2:3,AE:DE=3:4,求AF:CF[数学科目]
连DF,∵AE：ED=3：4,∴△AEF：△DEF=3：4,∴△AEF=3a,△DEF=4a,又BD：CD=2：3,△BFD=2b,△BED=2b-4a,△FDC=3b,△AEB=3（2b-4a）/4=3b/2-3a,AF/CF=（3b/2-3a+3a）/（2b-4a+4a+3b） =（3b/2）/5b,=3/10 ∴AF：CF=3：10（三角形等高,面积比等于底边比）
类似问题5：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．[数学科目]
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．