复变函数小问题求函数z^2sin(1z)在其有限奇点
编辑： admin 2017-01-03
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z^2sin(1/z)=z^2(1/z-1/3!·1/z^3+1/5!·1/z^5+1/7!·1/z^7+...)
其式中含有无穷多项负幂项,所以z=0是其本性奇点
故Res[f(z),0]=a_1=-1/3!=-1/6
类似问题
类似问题1：求方程z＾5+5z＾3+z-2=0在|z|[数学科目]
这道题涉及到儒歇定理：设函数f(z),g(z)在闭路C及其内部解析（即内部处处可导）且在C上有不等式|f(z)|>|g(z)|,则在C的内部f(z)+g(z)和f(z)的零点个数相等
这道题就是把2.5代入
f(z)=z＾5,和g(z)=5z＾3+z-2
|f(z)|>|g(z)|
根据儒歇定理可知z＾5=0与z＾5+5z＾3+z-2=0的根相同
因为z＾5=0在有|z|<5／2内有五阶零点z=0,即f(z)=z＾5有5个零点,所以z＾5+5z＾3+z-2=0有五个根.即五个零点.
类似问题2：帮我看看这个复变函数题,研究f(z)=1/[(x-1)(x-2)^2]的孤立奇点的类型有点搞不懂[数学科目]
1 是单极点
2 是2阶极点
类似问题3：复变函数问题f（z）=e的z次方在z=0处解析吗?[数学科目]
设z=x+iy
f(z)=e^z=e^(x+iy)=e^x·e^(iy)=e^xcosy+ie^xsiny
Re[f(z)]=e^xcosy,Im[f(z)]=e^xsiny
令u(x,y)=e^xcosy,v(x,y)=e^xsiny
du/dx=e^xcosy
du/dy=-e^xsiny
dv/dx=e^xsiny
dv/dy=e^xcosy
由du/dx=dv/dy得e^xcosy=e^xcosy,可知该方程对于x,y∈R都成立
由du/dy=-dv/dx得-e^xsiny=-e^xsiny,可知该方程对于x,y∈R都成立
即对于任意的z∈C,f(z)=e^z都满足柯西黎曼条件
所以f(z)=e^z在C上处处可导,故在C上处处解析
特别地,f(z)=e^z在z=0处解析.
类似问题4：复变函数题求∮[(e^z)dz/z(z-1)^2],其中C为正向圆周|z|=3{注：∮下面还有个字母c }[数学科目]
在圆周|z|=3
里面有两个奇点,分别是0和1
由于柯西积分只适用于一个奇点的情况,所以要分为两部分,及z=0和z=1的情况.
z=0时
∮[(e^z)dz/z(z-1)^2]=∮[((e^z)/(z-1)^2*dz)/z]=2*pi*i*(e^z)/(z-1)^2|z=0
=2*pi*i
z=1时
∮[(e^z)dz/z(z-1)^2]=∮[（(e^z)/z）*dz/(z-1)^2]=2*pi*i*(e^z)/z）|z=1
=2*e*pi*i
然后根据复周线,即原积分的值等于上述两个值相加,=2*pi*i*(e+1)
类似问题5：感激不尽[数学科目]
z*z共轭=z^2=4,z的共轭=4/z,将上式化简为-3/z,z=0为1级极点,由留数定理得结果为-6Pi