设函数f(x)为区间[a，b] 上的连续函数，且f(
编辑： admin 2017-01-03
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f(x)>0 应为f(x)>=1
提示：
∫(a,b)f(x)dx.∫(a,b)1/f(x)dx
=∫(a,b)f(x)dx.∫(a,b)1/f(y)dy
=∫ (a,b)x(a,b) ∫ f(x)/f(y) dxdy
=1/2*∫ (a,b)x(a,b)∫ [f(x)/f(y)+f(y)/f(x)] dxdy
>=∫(a,b)x(a,b) ∫ dxdy
=(b-a)^2
类似问题
类似问题1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续,证明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx函数都是上线为b 下线为a
证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b
于是
∫(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
命题得证.
【注：紧跟积分符号后面的为积分区间】
类似问题2：假设函数f(x)闭在区间a,b上连续,而且f(x)大于等于0,定积分b到a f(x)dx=0,证明在闭区间a,b上恒有f(x)恒=0[数学科目]
假设在闭区间a,b上不恒有f(x)恒=0,f(x)大于等于0,则有f(c)>0,b= 函数f(x)闭在区间a,b上连续,由连续函数保号性知,在[b,a]内[m,n]上f(x)>0 有定积分m到n f(x)dx=0>0,与定积分b到a f(x)dx=0矛盾, 所以在闭区间a,b上恒有f(x)恒=0 ∫[0,a] [f(x)+f(2a-x)]dx =∫[0,a] f(x)dx+∫[0,a] f(2a-x)dx 令t=2a-x,x=2a-t,dx=-dt, x=0时,t=2a,x-a时,t=a 因此上式变为 =∫[0,a] f(x)dx+∫[0,a] f(2a-x)dx =∫[0,a] f(x)dx-∫[2a,a] f(t)dt =∫[0,a] f(x)dx+∫[a,2a] f(t)dt =∫[0,2a] f(x)dx ∫ [0,π[(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx =∫[0,π/2] [(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx+∫[π/2,π] [(π-x)sin(π-x) / (1+cos^2 (π-x）］dx ∫[(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx =-∫[(x) / (1+cos^2 x）］dcosx =-xarctan 调换一下积分次序即可. 对式子左边先对x积分,后对t 积分,则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1]. f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t).现在就只是关于t式子,用x替换t不影响定积分的结果,替换之后就是原式右边 至少有一个点,f(x)=0,且该点的导数f'(x)≠0 你可以假设f(x)=sinx 从0~2π的图案 当x=π的时候 f(x)=0 而这个图像,π的面积和π~2π的面积是相等的. 但f(x)从0~π的积分是正的, f(x)从π~2π的积分是负的 因此f(x)=sinx从0~2π的积分为0 同样如果连续积分 f(x)dx=0 怎说明在积分区域内如果将区域分割再积分,就一定存在一些是正的一些是的. 而这些反应到f(x)在该区域的图线就是存在穿过x轴的. 也就是至少有一个点,f(x)=0,且该点的导数f'(x)≠0类似问题3：特急：设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,证明：∫ f(x)dx)=∫ [f(x)+f(2a-x)]dx,第一个∫ 符号的上下分别为2a 和0,第二个∫ 符号的上下分别为a和0.并由此计算∫ [(xsinx) / (1+cos^2 x）］dx.∫ 符号的上下分[数学科目]
类似问题4：设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1].[数学科目]
类似问题5：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且定积分{上限a,下限b}f(x)dx=0,证明在[a,b]上至少[数学科目]