...AC=12，∠ABC、∠BAC的角平分线交于I
编辑： admin 2017-01-03
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延长BI交AC于D，过I作IE⊥AB于E．
∵BA=BC，BI平分∠ABC，
∴ID⊥AC，AD=DC=6，
∵AI平分∠BAC，
∴IE=ID，
∴△AID≌△AIE（HL），
∴AE=AD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A
B
2?AD
2=8，设ID=x，则BI=8-x，
∵BE=AB-AE=4，
在Rt△IEB中由勾股定理得42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
在Rt△IEA中由勾股定理得AI=A
E
2+IE
2=6
2+3
2＝35．提示：
很简单，画个图量一下6.61
或者B直接在AC的中垂线上，边都已知，余弦定理求之
类似问题
类似问题1：如图,点I是三角形ABC的内心,AI的延长线BC于点D,交三角形ABC的外接圆于点E,证明：IE=BE；若AE=8,IE=4,求DE的长包括辅助线[数学科目]
已知I是三角形ABC的内心,故∠IAB=∠IAC,∠IBA=∠IBC.
又∠CBE=∠CAE(圆周角相等),故∠CBE=∠IAB.
又因∠EBI=∠CBE+∠IBC,∠EIB=∠IAB+∠IBA,故∠EBI=∠EIB,
从而证得：IE=BE.
已证∠DBE=∠BAE,∠DEB为共同角,故△DBE∽△BAE.得DE/BE=BE/AE,
所以:DE=BE²/AE=4²/8=2.
类似问题2：如图在RT△ABC中,∠BAC=90°,D是AC上一点,∠ABD=∠C,直线EF过点D与BA的延长线相交于F,且EF⊥BC,垂足为E.1）写出图中所有与△ABD相似的三角形2）设AC/AB=t,是否存在这样的t值,使得△ADF相似于△EDB?请说[数学科目]
1）
∵∠ABD=∠C ∴△ABD∽△ACB
∵∠ABC是△ACB与△BEF的公共角,又∠BEF、∠BAC均为直角,∴△EFB∽△ACB同理 △ADF∽△EFB,△EDC∽△ACB,
∴△ABD∽△ACB∽△EFB∽△ADF∽△EDC
2）
当∠B=2∠C=60°时可以,此时AC/AB=sinB/sinC=(√3/2)/(1/2)=√3,∴t=√3
类似问题3：如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E， （1）BE与IE相等吗？为什么？（2）试说明IE是AE和DE的比例中项．[数学科目]
①BE=IE
证明：连接BI．
∵I为△ABC内心，
∴∠1=∠2，
∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∵∠BIE=∠2+∠5，
∠EBI=∠1+∠4，
∴∠BIE=∠EBI，
∴BE=IE；
②证明：∵∠BED=∠AEB，
∠4=∠5，
∴△BED∽△AEB，
∴BEAE＝EDEB
由①知BE=IE，
∴IE2=AE?ED，
∴IE是AE和DE的比例中项．
类似问题4：如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（ ） A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°[数学科目]
方法一：如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，AC＝CD∠ACI＝∠BCICI＝CI
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°；
方法二：如图2，延长CA到D，使AD=AI，
∴∠D=∠AID，
∵BC=AI+AC，
∴BC=CD，
在△BCI与△DCI中，BC＝CD∠BCI＝∠DCICI＝CI，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D=∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠CBI，
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°．
故选B．
类似问题5：如图 在三角形ABC中,角BAC=90°,E为AC上的一点,过点E作BC的垂线与BC相交于点D,与BA的延长线相交于点F,那么BD乘DC=DE乘DF成立吗?为什么?（用相似三角形）[数学科目]
成立.
BAC=90°,E作BC的垂线
F=C,BAC=EDC=90
三角形FDB~CDE
CD/DF=DE/DB
BD乘DC=DE乘DF