...以A为直角顶点作Rt△ABC,且点B、C在圆上

编辑: admin           2017-26-03         

    设M(x,y),连接OC,OM,MA,则
    由垂径定理,可得OM⊥BC,
    ∴OM2+MC2=OC2
    ∵AM=CM,
    ∴OM2+AM2=OC2
    ∴x2+y2+(x-3)2+y2=25,
    即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.

    类似问题

    类似问题1: 已知点A(3,0)是圆x2+y2=25内的一个定点,以A为直角顶点作Rt△ABC,且点B、C在圆上,试求BC中点M的轨迹方程.[数学科目]

    设M(x,y),连接OC,OM,MA,则
    由垂径定理,可得OM⊥BC,
    ∴OM2+MC2=OC2
    ∵AM=CM,
    ∴OM2+AM2=OC2
    ∴x2+y2+(x-3)2+y2=25,
    即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.

    类似问题2: 已知△ABC中,点B(-3,-1),C(2,1)是定点,顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.[数学科目]

    记G(x,y),A(x0,y0),
    由重心公式得:x=

    x

    0

    ?1
    3

    ,y=

    y

    0

    3


    于是有:x0=3x+1,y0=3y,
    而A点在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,
    ∴(3x+1+2)2+(3y-4)2=4,化简得:(x+1)2+(y-
    4
    3

    2=
    4
    9


    故△ABC的重心G的轨迹方程是:(x+1)2+(y-
    4
    3

    2=
    4
    9

    类似问题3: 已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0).1.求直角顶点C的轨迹方程;2.直角边BC中点M的轨迹方程不要复制来的答案,那些我都看过了[数学科目]

    设点C(x,y)根据题意我们知道角C=90度

    也就是AC垂直BC

    那么直线AC的斜率=y/(x+1)

    直线BC的斜率=y/(x-3)

    二者之积=-1

    y/(x+1)*y/(x-3)=-1

    y²=-(x+1)(x-3)

    y²=-x²+2x+3

    x²+y²-2x=3

    (x-1)²+y²=4

    或者根据圆的特性,直径对的圆周角=90度

    那么圆心横坐标=(-1+3)/2=1

    圆心(1,0)半径=AB/2=(3+1)/2=2

    所以C轨迹:(x-1)²+y²=4

    类似问题4: 【如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.】百度作业帮[数学科目]

    设AB的中点为R,则R也是PQ的中点,设R的坐标为(x1,y1),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.
    又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(

    x

    1

    2

     +

    y

    1

    2

    ).
    又|AR|=|PR|=

    (

    x

    1

    ?4)

    2

    +

    y

    1

    2

    ,所以有(x1-4)2+

    y

    1

    2

    =36-(

    x

    1

    2

     +

    y

    1

    2

    ),即

    x

    1

    2

     +

    y

    1

    2

    -4x1-10=0.
    因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
    设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=
    x+4
    2

    y

    1

    y+0
    2


    代入方程

    x

    1

    2

     +

    y

    1

    2

    -4x1-10=0,得(
    x+4
    2

    )

    2

    +(
    y
    2

    )

    2

    ?4?
    x+4
    2

    -10=0,
    整理得:x2+y2=56,这就是所求的Q点的轨迹方程.

    类似问题5: 已知△ABC中,点B(-3,-1),C(2,1)是定点,顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.[数学科目]

    记G(x,y),A(x0,y0),
    由重心公式得:x=

    x

    0

    ?1
    3

    ,y=

    y

    0

    3


    于是有:x0=3x+1,y0=3y,
    而A点在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,
    ∴(3x+1+2)2+(3y-4)2=4,化简得:(x+1)2+(y-
    4
    3

    2=
    4
    9


    故△ABC的重心G的轨迹方程是:(x+1)2+(y-
    4
    3

    2=
    4
    9

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