费尔马点-费尔马点-数学学习资料
编辑： admin 2017-26-03
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费尔马点
费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点.
对于一个顶角不超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点.
对于一个顶角超过120度的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点.
类似问题
类似问题1： 【费尔马点】百度作业帮
费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点.
对于一个顶角不超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点.
对于一个顶角超过120度的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点.
费尔马
在笛卡儿系统地阐述现代解析几何基础的同时,另一位法国数学天才费尔马(Pierrede Fermat)也注意到这门学科．费尔马要求承认是他发明解析几何的理由是：他在1636年9月给罗伯瓦的一封信中说到,他有这个概念已经七年了．在他死后发表的论著《平面和立体的轨迹引论》(isogoge ad locus planos et solidos)中,记载了这项工作的一些细节．在这里,我们见到了一般直线和圆的方程,以及关于双曲线、椭圆、抛物线的讨论．在一部1637年前完成的、关于切线和求面积的著作中,费尔马解析地定义了许多新的曲线．笛卡儿只提出了很少几种由机械运动生成的新曲线,而费尔马则提出了许多以代数方程定义的新曲线．曲线xmyn=a,yn=axm和rn=aθ,现在还被称作费尔马的双曲线(hyperbolas)、抛物线(parabolas)和螺线(spirals of Fermat)．费尔马还和别人一起提出了后来被称作阿涅泽的箕舌线(witch of Agnesi)的三次曲线；这曲线是以阿涅泽(Mati- a Haetana Agnesi,1718—1799)的名字命名的,她是一位多才多艺的妇女,是杰出的数学家、语言学家、哲学家和夜游病患者．这样,在很大程度上,笛卡儿从一个轨迹开始然后找它的方程,费尔马则从方程出后,然后来研究轨迹．这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面．费尔马的著作用的是韦达的记号,并且因此,与笛卡儿的较为现代的记号相比,有点象古文.
证明方法
a出现等于或多于2次,则A获胜：有11种情况是这样的．b出现等于或多于3次,则B获胜；有5种情况是这样的．所以,赌金应以11∶5的比例划分．对于一般情况：A需要m分获胜,B需要n分获胜,我们能写出a、b两个字母每次取m+n-1个的2m+n-1种排列．然后,我们找a出现等于或多于m次的α种情况,和b出现等于或多于n次的β种情况．所以,赌金应以α∶β的比例划分． 帕斯卡利用其“算术三角形”解得分问题,在9．9节中讲过．令C(n,r)表示从n件中每次取r件的组合数[参看问题研究9．13(g)],我们能容易地证明：“算术三角形”的第五条对角线上的数分别为：C(4,4)=1,C(4,3)=4,C(4,2)=6,C(4,1)=4,C(4,0)=1． 因为,回到上面讲的特殊的得分问题,C(4,4)是得4个a的方式数,C(4,3)是得3个a的方式数,等等；由此得出：此问题的解为：[C(4,4)+C(4,3)+C(4,2)]∶[C(4,1)+C(4,0)]=(1+4+6)∶(4+1) =11∶5 对于一般情况,A需要m分获胜,B需要n分获胜,我们选择帕斯卡算术阵的第(m+n)条对角线．然后,我们求此对角线的前n个数的和α和此对角线的最后m个数的和β．于是,赌金应依α∶β的比例划分． 帕斯卡和费尔马在他们1654年的有历史意义的通信中考虑到有关得分问题的其它问题,例如,当博弈者超过两个时,或两个博弈者的技巧参差不齐时,赌金该如何划分．帕斯卡和费尔马的这个工作开数学概率论之先河．惠更斯(Christiaan Huygens,1629—1695)写关于概率论的第一篇正式论文,就是以帕斯卡—费尔马的通信为基础的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli,1654—1705)的《猜测术》(Ars conjectandi)在他死后1713年才出版；这部书是这门学科的最优讲述,它包括惠更斯的较早的论文．继这些先行者之后,促进此学科发展的有：棣莫费尔(De Moivre,1667—1754),丹尼尔．伯努利(Daniel Bemoul-li,1700—1782),欧拉(1707—1783),拉格朗日(1736—1813),拉普拉斯(1749—1827),和一大批其他数学家．
类似问题2： 费尔马点是什么?费尔马点[数学科目]
就是平面内1点到面内另外3个点的距离和最短,这个点就是费尔马点
类似问题3： 费马点论文几百字简单OK扼.[数学科目]
费马点
定义
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点.
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线.是内切圆和外切圆的中心.△BPC≌△CPA≌△PBA.
（2） 当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线.
证明
(1)费马点对边的张角为120度.
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1
类似问题4： 【证明费马点】百度作业帮[物理科目]
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令PA + PB + PC三线段有最小值的一点,P为费马点.
作法
* 当三角形的内角都小于120度时
o 向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'
o 连接CC'、BB'、AA'
* 当有一个内角不小于120度时,费马点为此角对应顶点.
费马点的另外一种解法 :
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小,壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体,穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起.（结当然也是理想的啦,无限小）
松手让整个系统自由运动.那么,绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后,由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡,（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度.
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
类似问题5： 关于费马点的题目若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;(2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′[数学科目]
对不起,刚刚第一题漏了.
以B为顶点,往BC边外旋转BPC 60度得到BDE,根据费马点的定义,以及旋转,有：
1) ∠APB=120度
2) ∠BDE=∠BPC=120度
3) A、P、D、E四点共线
4) △BPD是等边三角形
5) ∠CBE=60度
因为∠ABC=60度,所以
6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度
根据4)、6)有：
7) ∠ABP + ∠DBE=60度
因为∠ABP + ∠BAP=60度,所以
8) ∠DBE=∠BAP
由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE,于是AP/BP=BD/DE=BP/CP
从而BP^2=AP*CP,即BP=2√3
由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,
∴A,P,C,B′四点共圆.
∴∠APB′=∠ACB′=60°,
∴∠APB+∠APB′=180°,
∴BPB′三点共线.
在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,
由∠CPB′=120°-60°=60°,
∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,
在△APC和△B′DC中,
AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,
∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,
∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）
由（1）,（2)得：
BP+AP+CP=BB′.证毕.